Problem B. 5370. (February 2024)

B. 5370. Let \(\displaystyle k\) be a positive integer, and assume that real numbers \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_k\) satisfy \(\displaystyle {\sum_{i=1}^k (k-i+1) a_i=0}\). Prove that there exists positive integer \(\displaystyle m\le k\) for which \(\displaystyle 2m\sum_{i=1}^{m} a_i\le \sum_{i=1}^m i a_i\).

Proposed by Viktor Vígh, Sándorfalva

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt kell igazolnunk, hogy van olyan \(\displaystyle m\leq k\) pozitív egész szám, amelyre

\(\displaystyle s_m:=2m\sum_{i=1}^{m} a_i- \sum_{i=1}^m i a_i =\sum_{i=1}^m (2m-i)a_i \)

nem pozitív. Tekintsük az \(\displaystyle s_1,s_2,\dots,s_k\) számok \(\displaystyle S\) összegét:

\(\displaystyle S:=\sum\limits_{m=1}^k \sum_{i=1}^{m}(2m-i) a_i .\)

Számoljuk ki \(\displaystyle S\)-ben \(\displaystyle a_i\) együtthatóját (ahol \(\displaystyle 1\leq i\leq k\)). A belső összegben akkor szerepel \(\displaystyle a_i\), ha \(\displaystyle i\leq m\leq k\), az együtthatója pedig:

\(\displaystyle \sum\limits_{m=i}^k (2m -i)=\frac{(i+2k-i)(k-i+1)}{2}=k(k-i+1).\)

Tehát \(\displaystyle S=k\sum\limits_{i=1}^k (k-i+1)a_i=0\) a feladat feltétele alapján. Ezért az \(\displaystyle s_i\) számok mindegyike nem lehet pozitív, amivel a feladat állítását igazoltuk.

Statistics:

46 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baráth Borbála, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csonka Illés, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fórizs Emma, Forrai Boldizsár, Görömbey Tamás, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Jármai Roland, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Kővágó Edit Gréta, Molnár István Ádám, Op Den Kelder Ábel, Pletikoszity Martin, Prohászka Bulcsú, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024