Problem B. 5371. (February 2024)
B. 5371. Let point \(\displaystyle P\) be chosen inside triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\) denote the orthogonal projections of point \(\displaystyle P\) onto sides \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) and \(\displaystyle AB\), respectively. Prove that \(\displaystyle \frac{PE+PF}{PA}+\frac{PF+PD}{PB}+\frac{PD+PE}{PC}\le 3\).
Proposed by Mihály Bencze, Brasov
(5 pont)
Deadline expired on March 11, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyenek a háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\), továbbá \(\displaystyle EAP\sphericalangle=\alpha_1\), \(\displaystyle PAF\sphericalangle=\alpha_2\), \(\displaystyle FBP\sphericalangle=\beta_1\), \(\displaystyle PBD\sphericalangle=\beta_2\) és \(\displaystyle DCP\sphericalangle=\gamma_1\), \(\displaystyle PCE\sphericalangle=\gamma_2\).
A \(\displaystyle PEA\) és \(\displaystyle PFA\) derékszögű háromszögekből a \(\displaystyle PE\) és \(\displaystyle PF\) szakaszok hosszát a \(\displaystyle PA\) szakasszal és szinusz szögfüggvénnyel is kifejezhetjük.
\(\displaystyle PE+PF=PA(\sin \alpha_1 +\sin \alpha_2). \)
A szinuszok összegére vonatkozó addíciós tétel alapján, továbbá felhasználva, hogy a koszinusz szögfüggvény értéke legfeljebb \(\displaystyle 1\), kapjuk a következő becslést:
\(\displaystyle \frac{PE+PF}{PA}=\sin \alpha_1 +\sin \alpha_2=2\sin \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}\cos\frac{\alpha_1-\alpha_2}{2}\le 2\sin\frac{\alpha}{2}.\)
Egyenlőség csak \(\displaystyle \alpha_1=\alpha_2\) esetén. Ugyanezzel a módszerrel kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{PF+PD}{PB}\le 2\sin \frac{\beta}{2} \quad \text{és} \quad \frac{PD+PE}{PC}\le 2\sin\frac{\gamma}{2}.\)
Alkalmazzuk végül a szinuszfüggvényre és az \(\displaystyle \frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}\) hegyesszögekre a Jensen-egyenlőtlenséget. A szinuszfüggvény a \(\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2} \right]\) intervallumon konkáv, ezért
\(\displaystyle \frac{PE+PF}{PA}+\frac{PF+PD}{PB}+\frac{PD+PE}{PC}\le 2\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\right) \le 2\cdot 3\cdot \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{6}=3.\)
Összességében egyenlőség az első becslésnél a szögfelezők esetében, míg a második becslésnél a szinuszfüggvény szigorú konkávitása miatt csak szabályos háromszög esetén teljesül. Tehát egyenlőség csak abban az esetben igaz, ha a \(\displaystyle P\) pont egy \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög középpontja.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024