Problem B. 5373. (February 2024)

B. 5373. Let \(\displaystyle n\) be a positive integer. Prove that there are at least 8 odd coefficients in polynomial \(\displaystyle a_{7n}x^{7n}+\dots+a_1x+a_0=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^n\).

Proposed by Péter Pál Pach, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on March 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle h(x)=b_mx^m+\dots +b_1x+b_0\) egy polinom, és \(\displaystyle 0\leq i\leq 6\), akkor \(\displaystyle S_i(h)\) legyen a \(\displaystyle h\) polinom azon együtthatóinak összege, melyekhez tartozó \(\displaystyle x\)-hatványok kitevője \(\displaystyle i\) maradékot ad 7-tel osztva (vagyis \(\displaystyle S_i(h)=b_i+b_{i+7}+\dots\) teljesül).

Vegyük észre, hogy ha \(\displaystyle g(x)=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)h(x)\), akkor \(\displaystyle S_0(g)=S_1(g)=\dots=S_6(g)(=b_m+\dots+b_1+b_0)\), hiszen a \(\displaystyle h(x)\)-ben szereplő \(\displaystyle b_ix^i\) monom \(\displaystyle b_i\)-vel járul hozzá az \(\displaystyle S_0,S_1,\dots,S_6\) összegek mindegyikéhez (minden \(\displaystyle i\)-re), hiszen az \(\displaystyle x^{i+7},x^{i+6},x^{i+5},x^{i+4},x^{i+3},x^{i+2},x^{i+1}\) monomok kitevői teljes maradékrendszert alkotnak modulo 7.

Az előbbi észrevételt ismételten használva kapjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)=(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^n\) polinomra

\(\displaystyle S_0(f)=S_1(f)+1=S_2(f)+1=S_3(f)+1=S_4(f)+1=S_5(f)+1=S_6(f)+1,\)

ugyanis a binomiális tétel alapján

\(\displaystyle f(x)=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^i,\)

ahol az \(\displaystyle i=0\)-hoz tartozó (1-et adó) tag kivételével az összegzésben szereplő mindegyik polinom osztható \(\displaystyle (x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)\)-szel, így egyformán járulnak hozzá az \(\displaystyle S_i\) összegekhez, az \(\displaystyle i=0\)-nál kapott 1-et pedig \(\displaystyle S_0\)-ban számoljuk.

Mivel \(\displaystyle f\) együtthatóinak összege \(\displaystyle 8^n\), így \(\displaystyle S_1(f)=\dots=S_6(f)=\frac{8^n-1}{7}\) és \(\displaystyle S_0(f)=\frac{8^n-1}{7}+1\). Tehát \(\displaystyle S_1,\dots,S_6\) páratlanok, ami azt is jelenti, hogy minden \(\displaystyle 1\leq i\leq 6\) esetén kell lennie (páratlan sok) olyan együtthatónak \(\displaystyle f\)-ben, amelyhez tartozó \(\displaystyle x\)-hatvány kitevője \(\displaystyle i\) maradékot ad 7-tel osztva. Ez eddig legalább hat páratlan együtthatót jelent. Világos, hogy \(\displaystyle a_{7n}=a_0=1\), így találtunk még legalább két páratlan együtthatót, ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. Ha az \(\displaystyle n\) szám 2-hatvány, akkor a páratlan együtthatók száma pontosan 8. Ennek igazolásához elég belátni, hogy ha egy egész együtthatós polinomban pontosan 8 páratlan együttható van, akkor ez a négyzetére is teljesül. Egy \(\displaystyle b_mx^m+\dots+b_1x+b_0\) polinom négyzetre emelésekor a \(\displaystyle 2b_ib_jx^{i+j}\) kettős szorzatok (\(\displaystyle i<j\)) együtthatója 2, így egyik együttható paritásán sem változtatnak, a tagok négyzete, vagyis a \(\displaystyle b_i^2x^{2i}\) alakú tagok pedig 8 páratlan együtthatót adnak, ha a \(\displaystyle b_i\) együtthatók között 8 páratlan volt.

Statistics:

18 students sent a solution.
6 points:	Aravin Peter, Bodor Mátyás, Holló Martin, Szakács Ábel.
5 points:	Ali Richárd, Keresztély Zsófia, Virág Lénárd Dániel.
4 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024