Problem B. 5374. (March 2024)

B. 5374. Square \(\displaystyle ABCD\) and rhombus \(\displaystyle BAEF\) are drawn on the opposite sides of line segment \(\displaystyle AB\). Let \(\displaystyle K\) and \(\displaystyle M\) denote the center of the square and the rhombus, respectively. Prove that \(\displaystyle KM\) bisects angle \(\displaystyle AMB\).

Proposed by Viktor Vígh, Sándorfalva

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden rombuszra (és így minden négyzetre) teljesül, hogy átlói merőlegesek, tehát \(\displaystyle BKA \sphericalangle = AMB \sphericalangle = 90^{\circ}\). Ekkor \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle M\) is rajta van az \(\displaystyle AB\) szakasz Thalész-körén. \(\displaystyle AK = KB\) (hiszen egy négyzet átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást), tehát a kerületi szögek tétele miatt \(\displaystyle BMK \sphericalangle = KMA \sphericalangle\) – éppen ezt kellett bizonyítanunk.

Statistics:

114 students sent a solution.
3 points:	93 students.
2 points:	13 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024