Problem B. 5375. (March 2024)

B. 5375. Solve equation \(\displaystyle \left(m-k \right)^{2}={m+k}\) for non-negative integers \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle k\).

Proposed by László Németh, Fonyód

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az

\(\displaystyle m^2 -(2k+1)m + (k^2-k) = 0 \)

alakba írva \(\displaystyle m\)-re másodfokú (paraméteres) egyenletet kapunk, melynek diszkriminánsa \(\displaystyle (2k+1)^2 - 4(k^2-k) = 8k+1\). Ha létezik \(\displaystyle m\)-re racionális megoldás, akkor \(\displaystyle 8k+1\) egy racionális szám négyzete; ha \(\displaystyle k\) is egész, akkor \(\displaystyle 8k+1 = v^2\) egy egész szám négyzete. Innen

\(\displaystyle k = \dfrac{v^2-1}{8}. \)

Itt \(\displaystyle k\) pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle v=2t+1\) páratlan, és ekkor

\(\displaystyle k = \dfrac{(2t+1)^2-1}{8} = \dfrac{t(t+1)}{2}, \)

ennek függvényében pedig a paraméteres másodfokú egyenlet megoldása \(\displaystyle m\)-re:

\(\displaystyle m = \dfrac{1}{2}\cdot (2k+1 \pm \sqrt{8k+1}) = \dfrac{1}{2}\cdot (t^2+t+1 \pm (2t+1) ) = \begin{cases} \frac{1}{2}\cdot (t^2+3t+2) = \frac{1}{2}\cdot (t+1)(t+2), \ \text{vagy} \\ \frac{1}{2}\cdot (t^2-t) = \frac{1}{2}\cdot t(t-1). \end{cases} \)

Az \(\displaystyle m\)-re és \(\displaystyle k\)-ra kapott fenti kifejezések minden \(\displaystyle t\) egészre nemnegatív egészeket adnak, amelyek megoldásai az eredeti egyenletnek.

Statistics:

112 students sent a solution.
4 points:	74 students.
3 points:	16 students.
2 points:	5 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024