Problem B. 5376. (March 2024)

B. 5376. Let us divide positive integer \(\displaystyle n\) with all the positive integers smaller than \(\displaystyle n\), and let \(\displaystyle f(n)\) denote the sum of the remainders we've obtained. (For example, when we divide \(\displaystyle n=5\) by \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) and \(\displaystyle 4\), we get remainders \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) and \(\displaystyle 1\), respectively, therefore \(\displaystyle f(5)=4\).) Solve equation \(\displaystyle f(n)=n\).

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle n\) szám felétől kezdve általában sok olyan szám jön, ami nem \(\displaystyle 0\) maradékot ad.

– Ha \(\displaystyle n=2k\), akkor \(\displaystyle n\)-nek a \(\displaystyle k+1\)-gyel, \(\displaystyle k+2\)-vel, ... , \(\displaystyle n-1\)-gyel vett osztási maradékainak az összege: \(\displaystyle (k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k-1)}{2}\). Továbbá ez az összeg, \(\displaystyle \dfrac{k(k-1)}{2} > n=2k\), ha (rendezve az egyenlőtlenséget) \(\displaystyle \dfrac{k(k-5)}{2} > 0\), azaz ha \(\displaystyle k>5\) (azaz \(\displaystyle n=10\) fölött).

– Ha pedig \(\displaystyle n=2k+1\), akkor \(\displaystyle n\)-nek a \(\displaystyle k+1\)-gyel, \(\displaystyle k+2\)-vel, ... , \(\displaystyle n-1\)-gyel vett osztási maradékainak az összege: \(\displaystyle k+(k-1)+(k-2)+...+1=\dfrac{k(k+1)}{2}\). Továbbá ez az összeg, \(\displaystyle \dfrac{k(k+1)}{2} > 2k+2>n=2k+1\), ha (rendezve az egyenlőtlenséget) \(\displaystyle \dfrac{(k-4)(k+1)}{2} > 0\), azaz ha \(\displaystyle k>4\) (azaz \(\displaystyle n=9\)-nél, vagy afölött).

Vagyis az egyenlet \(\displaystyle n>10\) esetén nem teljesülhet, így elég néhány esetet végignézni. Ezekre az \(\displaystyle n\)-ekre a következő táblázat adja meg \(\displaystyle f(n)\)-et:

Azaz egyetlen megoldása van az egyenletnek, és ez \(\displaystyle n=8\).

Statistics:

Problem B. 5376. is not processed yet.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024