Problem B. 5380. (March 2024)
B. 5380. Find the smallest possible degree of polynomial \(\displaystyle f\) of one variable, if it satisfies the following property: the range of \(\displaystyle f\) and \(\displaystyle f\circ f\) are different, while the range of \(\displaystyle f \circ f\) and \(\displaystyle f\circ f\circ f\) are the same. (The symbol \(\displaystyle \circ\) denotes function composition.)
Proposed by Bálint Hujter, Budapest
(6 pont)
Deadline expired on April 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Azt igazoljuk, hogy egy ilyen polinomfüggvény legalább negyedfokú (és negyedfokú lehet is).
Először is, világos, hogy \(\displaystyle f(x)\) foka nem lehet páratlan, ugyanis ekkor \(\displaystyle f(f(x))\) is páratlan fokú lenne, márpedig egy páratlan fokú polinomfüggvény értékkészlete mindig \(\displaystyle \mathbb{R}\), így \(\displaystyle f(x)\) és \(\displaystyle f(f(x))\) értékkészlete nem különbözne.
Az \(\displaystyle f(x)\) konstans polinom sem lehet, hiszen ekkor \(\displaystyle f(f(x))\equiv f(x)\).
Tegyük fel most, hogy \(\displaystyle f(x)\) másodfokú. Tegyük fel először, hogy \(\displaystyle f(x)\) főegyütthatója pozitív, vagyis \(\displaystyle f(x)\) grafikonja egy felfelé álló parabola. Jelölje a parabola csúcsának \(\displaystyle x\)-koordinátáját \(\displaystyle \alpha\) és legyen \(\displaystyle f(\alpha)=\beta\). Ekkor \(\displaystyle f(x)\) a \(\displaystyle (-\infty,\alpha]\) intervallumon szigorúan monoton csökken, az \(\displaystyle [\alpha,\infty)\) intervallumon pedig szigorúan monoton nő, a minimuma \(\displaystyle \beta\), értékkészlete pedig \(\displaystyle [\beta,\infty)\). Az \(\displaystyle f(f(x))\) értékkészlete a \(\displaystyle [\beta,\infty)\) halmaz \(\displaystyle f\) szerinti képe. Ha \(\displaystyle \beta\leq \alpha\) lenne, akkor ez szintén \(\displaystyle [\beta,\infty)\) lenne, tehát a feltevésünkkel ellentétben \(\displaystyle f(x)\) és \(\displaystyle f(f(x))\) értékkészlete egyezne. Így csak \(\displaystyle \alpha<\beta\) lehet. Ekkor világos, hogy \(\displaystyle f(f(x))\) értékkészlete \(\displaystyle [f(\beta),\infty)\). Mivel \(\displaystyle \alpha<\beta\), ezért \(\displaystyle \beta=f(\alpha)<f(\beta)\), hiszen \(\displaystyle f(x)\) monoton nő \(\displaystyle [\alpha,\infty)\)-en. Így az \(\displaystyle f(f(f(x)))\) értékkészlete (ami az \(\displaystyle [f(\beta),\infty)\) intervallum \(\displaystyle f\)-képe): \(\displaystyle [f(f(\beta)),\infty)\). Ismét a monotonitást és \(\displaystyle \alpha<\beta<f(\beta)\)-t használva kapjuk, hogy \(\displaystyle f(\beta)<f(f(\beta))\), vagyis feltevésünkkel ellentétben \(\displaystyle f(f(x))\) és \(\displaystyle f(f(f(x)))\) értékkészlete különböző. Ezzel teljesen analóg módon akkor is ellentmondásra jutunk, ha \(\displaystyle f(x)\) főegyütthatója negatív. Tehát \(\displaystyle f(x)\) nem lehet másodfokú sem.
Végül, mutatni fogunk olyan negyedfokú \(\displaystyle f(x)\) polinomot, amire teljesülnek a megadott feltételek. Keressünk például olyat, aminek a főegyütthatója pozitív. Ekkor \(\displaystyle f\)-nek vagy egy, vagy két lokális minimuma van, azonban az előbbi esetben a parabolánál látottakhoz hasonlóan kiderülne, hogy nincs megfelelő függvény, tehát olyat kell keresnünk, aminek két lokális minimuma (és ezek között egy lokális maximuma) van. Legyen mondjuk a két minimumhely \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a maximumhely pedig 0, úgy, hogy \(\displaystyle a<0<b\). Ekkor az \(\displaystyle f'(x)\) derivált gyökei \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle b\), legyen például
\(\displaystyle f'(x)=(x-a)x(x-b)=x^3-(a+b)x^2+abx,\)
ekkor
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{(a+b)x^3}{3}+\frac{abx^2}{2}+c\)
valamilyen \(\displaystyle c\) konstanssal. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) paraméterek bármely választására teljesül, hogy \(\displaystyle f(x)\) szigorúan monoton csökken a \(\displaystyle (-\infty,a]\) és a \(\displaystyle [0,b]\) intervallumokon, továbbá szigorúan monoton nő az \(\displaystyle [a,0]\) és a \(\displaystyle [b,\infty)\) intervallumokon.
Először belátjuk, hogy ha teljesül \(\displaystyle 0<f(a)<f(b)<b\), akkor a feladat feltételeinek megfelelő függvényt kapunk, majd megadunk megfelelő választást \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) értékére.
Mivel \(\displaystyle f(x)\) két lokális minimumhelye \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), továbbá \(\displaystyle f(a)<f(b)\), ezért \(\displaystyle f(x)\) értékkészlete \(\displaystyle [f(a),\infty)\) (hiszen mind \(\displaystyle -\infty\)-ben, mind \(\displaystyle \infty\)-ben a határérték \(\displaystyle \infty\)). Tudjuk, hogy \(\displaystyle 0<f(a)<b\), ezért az \(\displaystyle [f(a),\infty)\) intervallum \(\displaystyle f\)-képe ugyanaz, mint a \(\displaystyle [b,\infty)\) intervallum \(\displaystyle f\)-képe (hiszen \(\displaystyle [f(a),b]\)-n is csak \(\displaystyle f(b)\)-nél nagyobb értékeket vesz fel \(\displaystyle f\)). Ezt figyelembe véve \(\displaystyle f(f(x))\) értékkészlete \(\displaystyle [f(b),\infty)\), ami \(\displaystyle f(a)<f(b)\) alapján valóban különbözik \(\displaystyle f(x)\) értékkészletétől.
Ehhez teljesen hasonlóan, mivel \(\displaystyle 0<f(b)<b\), ezért az \(\displaystyle [f(b),\infty)\) intervallum \(\displaystyle f\)-képe szintén \(\displaystyle [f(b),\infty)\), vagyis \(\displaystyle f(f(f(x))))\) értékkészlete megegyezik \(\displaystyle f(f(x))\) értékkészletével.
Már csak az a feladatunk, hogy találjunk megfelelő \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) értékeket.
Legyen mondjuk \(\displaystyle a=-2b\), ekkor:
\(\displaystyle f(a)=f(-2b)=4b^4-\frac{8}{3}b^4-4b^4+c=-\frac{8}{3}b^4+c,\)
\(\displaystyle f(b)=\frac{b^4}{4}+\frac{b^4}{3}-b^4+c=-\frac{5}{12}b^4+c.\)
A kívánt \(\displaystyle 0<f(a)<f(b)<b\) feltétel teljesül például, ha \(\displaystyle b=c=\frac{1}{2}\), ekkor ugyanis \(\displaystyle f(a)=\frac13\) és \(\displaystyle f(b)=\frac{1}{2}-\frac{5}{12\cdot 16}>\frac13\).
Tehát találtunk a feltételeket kielégítő negyedfokú polinomfüggvényt: például
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{4}+\frac12\)
ilyen. Ezzel befejeztük a feladat megoldását.
Statistics:
23 students sent a solution. 6 points: Bodor Mátyás, Holló Martin, Kovács Benedek Noel, Sági Mihály, Zhai Yu Fan. 5 points: Fekete Aron, Gyenes Károly, Molnár István Ádám, Petrányi Lilla, Sárdinecz Dóra, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás, Wágner Márton. 4 points: 4 students. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024