Problem B. 5399. (September 2024)

B. 5399. A five-digit perfect square does not contain the digit 9. If we increase each of its digits by 1, we get another perfect square. Find all possible perfect squares with this property.

Proposed by Géza Kiss, Csömör

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen tehát \(\displaystyle a^2\) egy olyan ötjegyű négyzetszám (\(\displaystyle a>0\)), amelynek nincs 9-es számjegye és minden számjegyéhez 1-et hozzáadva ismét négyzetszámot, \(\displaystyle b^2\)-et (\(\displaystyle b>0\)) kapunk. Ekkor tehát \(\displaystyle b^2-a^2=11111\). Az 11111 szám prímtényezős felbontása \(\displaystyle 11111=41\cdot 271\). Mivel \(\displaystyle b^2-a^2=(b+a)(b-a)\), ahol mindkét tényező pozitív egész szám, így vagy \(\displaystyle b+a=11111\) és \(\displaystyle b-a=1\), vagy \(\displaystyle b+a=271\) és \(\displaystyle b-a=41\). Az első esetben \(\displaystyle a=(11111-1)/2=5555\) adódna, aminek a négyzete nem ötjegyű, így ez nem lehetséges. A második esetben \(\displaystyle b=(271+41)/2=156\) és \(\displaystyle a=(271-41)/2=115\), ami valóban megoldást ad, hiszen \(\displaystyle 156^2=24336\) és \(\displaystyle 115^2=13225\).

Tehát a kérdéses négyzetszám a 13225.

Statistics:

181 students sent a solution.
3 points:	111 students.
2 points:	42 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2024