Problem B. 5401. (September 2024)

B. 5401. Find the biggest possible value of product \(\displaystyle mn\), provided that \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) and \(\displaystyle \sqrt{25+\sqrt{n+\sqrt m}} + \sqrt{25-\sqrt{n+\sqrt m}}\) are all positive integers.

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a \(\displaystyle k\) pozitív egész szám a \(\displaystyle \sqrt{25+\sqrt{n+\sqrt m}} + \sqrt{25-\sqrt{n+\sqrt m}}\) kifejezést. Négyzetre emelve, adódik: \(\displaystyle k^2 = 50+ 2 \sqrt{25^2-n-\sqrt m}\). Felhasználva, hogy egy egész szám gyöke pontosan akkor racionális, ha a szám négyzetszám; illetve azt, hogy pozitív irracionális szám gyöke irracionális szám; adódik, hogy \(\displaystyle 625-n-\sqrt m\) négyzetszám, illetve maga \(\displaystyle m\) is négyzetszám.

Ekkor viszont \(\displaystyle k^2\) olyan páros négyzetszám, ami 50-nél nagyobb, vagy egyenlő vele, viszont \(\displaystyle 50+2 \sqrt {25^2}=100\)-nál kisebb, azaz \(\displaystyle k\) csak 8 lehet.

Innen (\(\displaystyle k=8\)-at behelyettesítve és 2-vel osztva) adódik, hogy \(\displaystyle 7 = \sqrt{25^2-n-\sqrt m}\), azaz \(\displaystyle 49=625 - n - \sqrt m\) és innen \(\displaystyle 576=n+ \sqrt m\).

A számtani- és mértani közép közötti egyenlőtlenséget felhasználva: \(\displaystyle 192=\dfrac{576}{3}= \dfrac{n + \frac{\sqrt m}{2} + \frac{\sqrt m}{2}}{3} \geq \sqrt[3]{ n \cdot \frac{\sqrt m}{2} \cdot \frac{\sqrt m}{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{ n \cdot m}{4}}\).

Az egyenlőtlenségben egyenlőség pontosan akkor van, ha a megfelelő tagok egyenlőek, azaz \(\displaystyle 192=n = \frac{\sqrt m}{2} \Rightarrow m =384^2\).

Vagyis a kérdéses szorzat lehetséges legnagyobb értéke \(\displaystyle n=192\) és \(\displaystyle m=384^2=147456\) esetén adódik, és ekkor a maximum: \(\displaystyle 192 \cdot 384^2 = 28311552 (=2^{20} \cdot 3^3)\).

Statistics:

120 students sent a solution.
4 points:	59 students.
3 points:	23 students.
2 points:	13 students.
1 point:	14 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2024