Problem B. 5407. (October 2024)

B. 5407. Find positive integers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) and \(\displaystyle d\) satisfying \(\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}\) and \(\displaystyle \frac{a+c}{2}=b+1\).

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételek alapján (bevezetve a mértani sorozat hányadosára a \(\displaystyle q \neq 0\) betűt) \(\displaystyle a; b= a \cdot q; c=a \cdot q^2\) és \(\displaystyle d=a \cdot q^3\) egy mértani sorozat egymást követő tagjai.

Az \(\displaystyle \dfrac{a+c}{2} = b+1\) feltételbe behelyettesítve: \(\displaystyle \dfrac{a(1+q^2)}{2} = aq+1 \Longrightarrow q^2a-2aq+a-2=0 \Longrightarrow q_{1;2}=\dfrac{2 a \pm \sqrt{8a}}{2a}\) adódik.

Mivel a számok egészek (és így a \(\displaystyle q\) hányados racionális), a fenti egyenlet \(\displaystyle D=8a\) diszkriminánsa négyzetszám, és így \(\displaystyle a=2n^2\) alakú (ahol \(\displaystyle n \neq 0\) egész). Ezt visszahelyettesítve: \(\displaystyle q_{1;2}=\dfrac{4n^2 \pm 4n}{4n^2} = \dfrac{n \pm 1}{n}\).

Innen \(\displaystyle b,c\) és \(\displaystyle d\) értékeire (\(\displaystyle q\) értékétől függően) két-két lehetőség van: \(\displaystyle b=2n(n \pm 1); c=2(n \pm 1)^2\) és \(\displaystyle d=\dfrac{2(n \pm 1)^2}{n}\). Ez utóbbi alapján mivel \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle (n \pm 1)\) relatív prímek és a számok pozitívak, \(\displaystyle n=1\), vagy \(\displaystyle n=2\) lehet csak.

Behelyettesítve a négy lehetőséget, az \(\displaystyle (a;b;c;d)\) rendezett számnégyes a következő lehet: \(\displaystyle (2;4;8;16)\), \(\displaystyle (8;12;18;27)\) és \(\displaystyle (8;4;2;1)\) (az \(\displaystyle n=1\) és a \(\displaystyle q=\dfrac{n - 1}{n} = 0\) nem ad megoldást.)

Statistics:

133 students sent a solution.
4 points:	54 students.
3 points:	20 students.
2 points:	34 students.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024