Problem B. 5409. (October 2024)

B. 5409. Each card in a deck of german suited playing cards has a suit and a value. The suit can be Hearts, Bells, Leaves or Acorns, and the value can be VII, VIII, IX, X, Unter, Ober, King or Ace. The deck contains all possible combinations of the suits and the values. We arrange the 32 cards of a deck in 4 rows and 8 coloumns. Let \(\displaystyle A\) denote the random event that no coloumn contains two cards with the same suit, and let \(\displaystyle B\) denote the random event that no row contains two cards with the same value. Which of the two events has the larger probability?

Proposed by Zoltán Bertalan, Békéscsaba

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Külön-külön kiszámítjuk az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) esemény valószínűségét.

Összesen \(\displaystyle 32!\)-féleképpen helyezhetjük el a lapokat, mind egyenlő esélyű (hiszen véletlenszerűen helyeztük el a kártyákat).

Először számoljuk meg, hogy ezek közül hány esetben teljesül az \(\displaystyle A\) esemény. Az első oszlopba kerülő lapok halmaza \(\displaystyle 8^4\)-féleképpen válaszható ki (hiszen mindegyik színből 8 lap van, melyek közül egyet-egyet választunk). A második oszlopba kerülő lapok halmaza már csak \(\displaystyle 7^4\)-féleképpen választható ki (hiszen minden színből egy-egy lap már az első oszlopba került). Hasonlóképpen a harmadik oszlopba \(\displaystyle 6^4\)-féleképpen, általában a \(\displaystyle k\)-adik oszlopba \(\displaystyle (9-k)^4\)-féleképpen válaszható ki az oda kerülő, négy különböző színű lap halmaza.

Mind a 8 oszlopra igaz, hogy az oda kiválasztott 4 különböző színű lap \(\displaystyle 4!\)-féle sorrendben tehető le az adott oszlopba. Tehát a kedvező esetek száma:

\(\displaystyle 8^4 \cdot 7^4 \cdot 6^4 \cdot 5^4 \cdot 4^4 \cdot 3^4 \cdot 2^4 \cdot 1^4 \cdot (4!)^8 = (8!)^4 \cdot (4!)^8, \)

így az \(\displaystyle A\) esemény valószínűsége:

\(\displaystyle P(A) = \frac{(8!)^4 \cdot (4!)^8}{32!}. \)

Lényegében ugyanilyen módszerrel kiszámítható a \(\displaystyle B\) eseményt teljesítő elrendezések száma is. Az első sorba kerülő lapok halmaza \(\displaystyle 4^8\)-féleképpen választható ki (hiszen mind a 8-féle érték mindegyikéből egyet-egyet kell választanunk, és 4 lap van minden lehetséges értékből). A második sorba kerülő lapok már csak \(\displaystyle 3^8\)-féleképpen, a harmadik sorba kerülők \(\displaystyle 2^8\)-féleképpen választhatók ki, és ezzel az utolsó sorba kerülő lapok halmaza is meghatározott (azaz \(\displaystyle 1 = 1^8\)-féle lehet).

Mind a 4 sorra igaz, hogy az oda kiválasztott 8 lap külön-külön \(\displaystyle 8!\)-féle sorrendben helyezhető el az adott sorban. Tehát a kedvező esetek száma:

\(\displaystyle 4^8 \cdot 3^8 \cdot 2^8 \cdot 1^8 \cdot (8!)^4 = (8!)^4 \cdot (4!)^8, \)

így a \(\displaystyle B\) esemény valószínűsége:

\(\displaystyle P(B) = \frac{(8!)^4 \cdot (4!)^8}{32!}, \)

éppen megegyezik az \(\displaystyle A\) esemény valószínűségével. ínűsége megegyezik.

Megjegyzés. Anélkül is megállapítható, hogy az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) események valószínűsége megegyezik, hogy ténylegesen kiszámítanánk ezeket a valószínűségeket. Részletekért lásd a nyomtatott lap valamelyik későbbi számát.

Statistics:

124 students sent a solution.
5 points:	95 students.
4 points:	7 students.
3 points:	7 students.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2024