Problem B. 5414. (November 2024)

B. 5414. Let \(\displaystyle ABCD\) be a rectangle. Points \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\) are chosen such that the circumcenter of triangle \(\displaystyle ABP\) is \(\displaystyle Q\) and the circumcenter of triangle \(\displaystyle BCQ\) is \(\displaystyle P\). Find the magnitude of angle \(\displaystyle PDQ\).

Proposed by Bálint Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. (javított változat) A feltételek szerint \(\displaystyle BQ = PQ\) ill. \(\displaystyle PQ = PB\); tehát \(\displaystyle BPQ\) egy szabályos háromszög. Az is könnyen látható, hogy a \(\displaystyle P\) pontnak \(\displaystyle BC\) (és \(\displaystyle DA\)), míg a \(\displaystyle Q\) pontnak \(\displaystyle AB\) (és \(\displaystyle CD\)) felezőmerőlegesén kell lennie.

A \(\displaystyle BCQ\) köré írt körben \(\displaystyle BPQ \sphericalangle = 60^\circ\) középponti szög, tehát a \(\displaystyle QCB \sphericalangle\) kerületi szögnek kétféle értéke lehet

• \(\displaystyle 30^\circ\), ha \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle QB\) húr egyenesének \(\displaystyle P\)-vel azonos oldalán van (1. ábra);
• \(\displaystyle 150^\circ\), ha \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle QB\) húr egyenesének \(\displaystyle P\)-vel ellentétes oldalán van (2. ábra).





Tehát (irányított szögekkel számolva)

\(\displaystyle DCQ \sphericalangle = DCB \sphericalangle - QCB \sphericalangle = \pm 60\circ \)

Így \(\displaystyle CDQ\) háromszög is szabályos kell legyen, hiszen van egy 60 fokos szöge és egyenlő szárú (\(\displaystyle DQ = CQ\), mivel \(\displaystyle Q\) rajta van \(\displaystyle DC\) felezőmerőlegesén). Az feladat logikai szimmetriája miatt ugyanígy megkaphatjuk, hogy az \(\displaystyle ADP\) háromszög is szabályos.

A három szabályos háromszög (\(\displaystyle BPQ \triangle\), \(\displaystyle ADP\triangle\), \(\displaystyle CDQ\triangle\)) és a téglalapban teljesülő \(\displaystyle AB=CD\) és \(\displaystyle BC = DA\) egyenlőségek miatt:

\(\displaystyle BP = QP = QB \\ PA = PD = BC \\ AB = DQ = CQ \)

Ebből következően

\(\displaystyle ABP \triangle \cong DQP \triangle \cong CQB \triangle, \)

és így \(\displaystyle PDQ \sphericalangle = BCQ \sphericalangle\), amelyről már megállapítottuk, hogy \(\displaystyle 30^\circ\) vagy \(\displaystyle 150^\circ\) lehet. Mindkét eset lehetséges is, mint ábráink mutatják.

(Az ábrákon a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokat úgy vettük fel, hogy \(\displaystyle DAP\) és \(\displaystyle CDQ\) azonos körüljárású szabályos háromszögek, ilyenkor könnyen ellenőrizhetően teljesül a feladat összes feltétele.)

Statistics:

96 students sent a solution.
3 points:	Blaskovics Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bui Thuy-Trang Nikolett, Guthy Gábor, Hajba Milán, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sha Jingyuan, Török Eszter Júlia, Virág Lénárd Dániel.
2 points:	69 students.
1 point:	12 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024