Problem B. 5416. (November 2024)

B. 5416. Real numbers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) and \(\displaystyle z\) satisfy \(\displaystyle x+y+z=8\) and \(\displaystyle xy+yz+zx=5\). Find the biggest possible value of \(\displaystyle z\).

Proposed by Attila Sztranyák, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle x\)-et az első egyenletből kifejezve, majd a második egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle x=8-y-z\) és \(\displaystyle yz+(8-y-z)(y+z)=5\) adódik. Ez utóbbi egyenletből a zárójelek felbontása és rendezés után az \(\displaystyle -y^2-yz+8y+8z-z^2-5=0\) kétismeretlenes egyenletet kapjuk.

Tekintsük a bal oldalon lévő \(\displaystyle -y^2+y(8-z)+8z-z^2-5\) összeget \(\displaystyle y\)-ban másodfokú (a valós \(\displaystyle z\) paramétertől függő) polinomnak. A másodfokú polinom diszkriminánsának nemnegatívnak kell lennie, azaz \(\displaystyle D=(8-z)^2-4z^2+32z-20=-3z^2+16z+44 \geq 0\).

Az egyenlőtlenséget \(\displaystyle z\)-ben megoldva \(\displaystyle -2 \leq z \leq \frac{22}{3}\) adódik.

Azaz \(\displaystyle z\) legfeljebb \(\displaystyle \frac{22}{3}\) lehet, és ez a maximum el is érhető, \(\displaystyle x = y = \dfrac{1}{3}\) esetén.

Statistics:

108 students sent a solution.
3 points:	73 students.
2 points:	9 students.
1 point:	3 students.
0 point:	16 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024