Problem B. 5417. (November 2024)

B. 5417. Which number is bigger, \(\displaystyle \left(2^{1000}\right)!\) or \(\displaystyle 2^{1000!}?\)

Proposed by Máté Szalai, Szeged

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy \(\displaystyle 2^{1000!}\) a nagyobb.

Először is,

\(\displaystyle \left(2^{1000}\right)!=2^{1000}\cdot \left( 2^{1000}-1\right)\cdot \ldots \cdot 1< \left(2^{1000}\right)^{2^{1000}}.\)

Másrészről,

\(\displaystyle 2^{1000!}=\left(2^{1000}\right)^{999!},\)

így elegendő igazolnunk, hogy \(\displaystyle 2^{1000}<999!\), hiszen az exponenciális függvény szigorúan monoton növekedő (ha az alapja 1-nél nagyobb).

Mivel

\(\displaystyle 999!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 999>2^{997}\cdot 999>2^{997}\cdot 8=2^{1000},\)

ezért ez valóban teljesül. Tehát \(\displaystyle 2^{1000!}>\left(2^{1000}\right)!\), ahogy azt állítottuk.

Statistics:

130 students sent a solution.
4 points:	73 students.
3 points:	16 students.
2 points:	10 students.
1 point:	11 students.
0 point:	14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024