Problem B. 5422. (December 2024)

B. 5422. Two natural numbers are relatives if they differ in at most one digit. For example, 135 and 175 are relatives, and so are 101 and 1 (that is, 001), but 135 and 513 are not. Does there exist a number whose relatives are all composite?

Márton Lovas, Budakalász

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Igen, például az \(\displaystyle n=19!+10\). Ez a szám \(\displaystyle 0\)-ra végződik, ezért minden olyan rokona, mely az utolsó jegyben nem tér el \(\displaystyle n\)-től, \(\displaystyle 10\)-zel osztható lesz. Az utolsó jegy megváltoztatásával a \(\displaystyle 0\)-t legfeljebb \(\displaystyle 9\)-re cserélhetjük, így a kapott szám \(\displaystyle 19!+(10+k)\) lesz valamely \(\displaystyle 0\leq k\leq 9\)-re. Azonban a \(\displaystyle 10,11,\dots,19\) mind osztja \(\displaystyle 19!\)-t, ezért \(\displaystyle 10+k\mid 19!+(10+k)\) mindig igaz lesz. Ekkor ezen számok egyike sem lehet prím, tehát \(\displaystyle n\) minden rokona összetett.

Statistics:

127 students sent a solution.
3 points:	96 students.
2 points:	18 students.
1 point:	2 students.
0 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024