Problem B. 5423. (December 2024)

B. 5423. \(\displaystyle \{x\}\) denotes the fractional part of \(\displaystyle x\). Does there exist a positive integer \(\displaystyle n\) for which \(\displaystyle \bigl\{\sqrt{2} n\bigr\}\cdot\bigl\{\frac{n}{\sqrt{2}}\bigr\}\) is rational?

Proposed by: Bálint Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle a=\left[\sqrt2n\right]\) és \(\displaystyle b=\left[ \frac{n}{\sqrt2}\right]\) jelöléseket bevezetve a kérdéses szorzat

\(\displaystyle r:=\left\{\sqrt2n\right\}\cdot\left\{\frac{n}{\sqrt2}\right\}= \left(\sqrt2n-a\right)\left(\frac{n}{\sqrt2}-b\right)= n^2+ab-\frac{n(a+2b)}{\sqrt2}. \)

Ezt átrendezve

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}=\frac{n^2+ab-r}{n(a+2b)},\)

hiszen \(\displaystyle n\) pozitív egész volta miatt \(\displaystyle a\geq 1\) és \(\displaystyle b\geq 0\), így \(\displaystyle n(a+2b)\ne 0\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle n\) egész számok, így ha \(\displaystyle r\) is racionális lenne, akkor ebből az következne, hogy az \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\) szám is racionális, azonban ismert (és könnyen igazolható), hogy irracionális. Így \(\displaystyle r\) irracionális.

Tehát nem létezik olyan \(\displaystyle n\) szám, amelyre \(\displaystyle \left\lbrace \sqrt{2} n \right\rbrace \cdot \left\lbrace \frac{n}{\sqrt{2}} \right\rbrace\) racionális.

Statistics:

102 students sent a solution.
3 points:	85 students.
2 points:	4 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024