Problem B. 5430. (January 2025)

B. 5430. At most how many positive integers can be written on the circumference of a circle such that the product of any two neighbouring numbers is less than \(\displaystyle 2025\)?

Proposed by: Attila Sztranyák, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Általánosabban dolgozunk; azt mutatjuk meg, hogy ha (\(\displaystyle 2025=45^2\) helyett) \(\displaystyle n^2\)-nél kell kisebbnek lennie bármely két a körvonalon szomszédos szám szorzatának, akkor legfeljebb \(\displaystyle (2n-2)\) darab különböző pozitív egészet tudunk felírni.

A \(\displaystyle (2n-2)\) darab legkisebb pozitív egész felírható a körvonalra például az alábbi sorrendben:

\(\displaystyle (1,2n-2,2,2n-3,3,2n-4,4,\ldots, n+1,n-1,n)\)

Ez a konstrukció nyilván megfelelő, hiszen az ,,elején'' az \(\displaystyle 1\) két szomszédjával, a \(\displaystyle (2n-2)\)-vel és az \(\displaystyle n\)-nel is jó párt képez, és a ,,végén'' az \(\displaystyle n\) két szomszédjával, az \(\displaystyle (n-1)\)-gyel és az \(\displaystyle 1\)-gyel is jó párt képez. Továbbá az \(\displaystyle 1 < k <n\) ,,kicsi'' szám két szomszédjával, a \(\displaystyle (2n-k)\)-vel és a \(\displaystyle (2n-k-1)\)-vel is jó párt képez, hiszen a számtani- és mértani-közép közötti összefüggést, valamint a \(\displaystyle k \neq 2n-k\) egyenlőtlenséget felhasználva \(\displaystyle k(2n-k-1) < k(2n-k) <\left( \dfrac{k+(2n-k)}{2} \right)^2=n^2\).

Az \(\displaystyle n<m<2n-2\) ,,nagy'' számoknak pedig mindkét szomszédja \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle n-1\) közötti (,,kicsi''), és mivel azokat az előző esetek során már vizsgáltuk, így a ,,nagy'' \(\displaystyle m\)-ek is jó párt képeznek szomszédaikkal.

Azaz \(\displaystyle (2n-2)\) darab szám valóban felírható a körvonalra. Indirekt tegyük fel, hogy \(\displaystyle (2n-1)\) (vagy több) szám is felírható. Ekkor legalább \(\displaystyle (2n-1)\) darab szomszéd-pár van. Mivel (a határokat is beleértve) az \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle (n-1)\) között lévő ,,kicsi'' számok legfeljebb \(\displaystyle 2(n-1)=2n-2\) darab a körvonalon szomszédos számpárban vannak benne, így van legalább egy a körvonalon szomszédos számpár, két \(\displaystyle (n-1)\)-nél nagyobb számmal. Ezek szorzata viszont legalább \(\displaystyle n \cdot (n+1) >n^2\), ami ellentmondás.

Azaz valóban legfeljebb \(\displaystyle (2n-2)\) darab szám írható fel a kövórvonalra.

Ha a szomszédos számok szorzata legfeljebb \(\displaystyle 2025=45^2\), akkor az előzőek alapján legfeljebb \(\displaystyle 2 \cdot 45-2=88\) szám írható fel a kör kerületére. A fenti konstrukció ebben az esetben az első \(\displaystyle 88\) pozitív egészből áll az alábbi sorrendben:

\(\displaystyle 1,88,2,87,3,86,4,85,\ldots,46,44,45. \)

Statistics:

100 students sent a solution.
3 points:	73 students.
2 points:	12 students.
1 point:	9 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025