Problem B. 5432. (January 2025)
B. 5432. Is it possible to find real numbers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) such that none of the functions below has a root?
$$\begin{gather*} p_1(x)=ax^2-(b^2+1)x+c,\\ p_2(x)=bx^2-(c^2+1)x+a,\\ p_3(x)=cx^2-(a^2+1)x+b. \end{gather*}$$Based on an idea of Ildikó Kámán, Budapest
(4 pont)
Deadline expired on February 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) ilyen számok. Egyikük sem lehet nulla, mivel különben a megfelelő elsőfokú polinomfüggvénynek létezne gyöke. Megmutatjuk, hogy mindegyikük pozitív. Ha nem így lenne, akkor valamelyikük, például az \(\displaystyle a\) negatív. Mivel \(\displaystyle p_1(x)\)-nek nincs zérushelye, azért \(\displaystyle (b^2+1)^2-4ac\) negatív, azaz \(\displaystyle 4ac>(b^2+1)^2>0\) miatt \(\displaystyle c\) negatív. Ebből ugyanígy következik – felhasználva, hogy \(\displaystyle p_3(x)\)-nek sincs zérushelye – hogy \(\displaystyle b\) is negatív. Ily módon a másodfokú, negatív főegyütthatós \(\displaystyle p_1(x)\), \(\displaystyle p_2(x)\), \(\displaystyle p_3(x)\) polinomfüggvények minden helyettesítési értéke negatív.
Másrészt az \(\displaystyle S(x):=p_1(x) + p_2(x) +p_3(x)\) polinom \(\displaystyle -1\)-ben fölvett értéke
\(\displaystyle (a+b+c)(-1)^2 - (a^2+b^2+c^2 +3)(-1) + (a+b+c) = (a+1)^2 + (b+1)^2 + (c+1)^2, \)
ami nem negatív. A kapott ellentmondás miatt \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) pozitív számok, ezért eredeti indirekt feltevésünk miatt a másodfokú, pozitív főegyütthatós \(\displaystyle p_1(x)\), \(\displaystyle p_2(x)\), \(\displaystyle p_3(x)\) polinomfüggvények minden helyettesítési értéke pozitív.
A fenti jelöléseket megtartva azonban \(\displaystyle S(1)\) értéke
\(\displaystyle (a+b+c)(+1)^2 - (a^2+b^2+c^2 +3)(+1) + (a+b+c) = - ((a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2), \)
ami nem pozitív. Ebből az ellentmondásból következik, hogy nem léteznek a feladat feltételeit teljesítő \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok.
Statistics:
87 students sent a solution. 4 points: 75 students. 2 points: 6 students. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025