Problem B. 5440. (February 2025)

B. 5440. We extended the sides of a triangle in both directions along the lines of the sides, and at each vertex the length of the two extensions equals the length of the side opposite the vertex. Prove the resulting six points are concyclic.

Proposed by: Sándor Róka, Nyíregyháza

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyenek a háromszög csúcsai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\); az oldalak hosszúságai a szokásos jelölések szerint \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\). Az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) szakaszokra az \(\displaystyle A\)-n túl felmért \(\displaystyle a\) hosszúságú szakaszok másik végpontjai legyenek \(\displaystyle M\), illetve \(\displaystyle N\). Ugyanezen módon a \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbítások végpontjai \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\), végül a \(\displaystyle C\)-n túli meghosszabbítások végpontjai \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) pontok az ábra szerint.

A \(\displaystyle BMS\) és \(\displaystyle BPQ\) háromszögek egyenlő szárú háromszögek. A \(\displaystyle B\) csúcshoz tartozó szögfelezőjük egybeesik. Ennek bármelyik \(\displaystyle X\) pontjára \(\displaystyle MX=SX\) és \(\displaystyle PX=QX\). Ugyanez elmnodható, ha a \(\displaystyle B\) csúcs helyett az \(\displaystyle A\), illetve a \(\displaystyle C\) csúcson átmenő szögfelezőegyenest nézzük. A szögfelezőegyenesek \(\displaystyle I\) metszéspontjára – az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontjára – teljesül, hogy \(\displaystyle IM=IS\) és \(\displaystyle IP=IQ\); \(\displaystyle IM=IN\) és \(\displaystyle I=IR\); \(\displaystyle IR=IS\) és \(\displaystyle IP=IN\). Az \(\displaystyle I\) pont egyenlő távolságra van mind a hat ponttól, a hat pont az \(\displaystyle I\) körüli körön helyezkedik el.

2. megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög félkerülete \(\displaystyle s\). Az első megoldás jelöléseit megtartva látjuk, hogy az \(\displaystyle MQ\), \(\displaystyle NR\) és \(\displaystyle PS\) szakaszok hossza megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög kerületével. Három egyforma hosszúságú szakasz csak úgy lehet egy kör három húrja, ha felezőmerőlegeseik átmennek egy közös ponton, és ettől a ponttól mind egyforma távolságra vannak. Legyen \(\displaystyle PS\) felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle FP\) távolság \(\displaystyle s\), ennek megfelelően \(\displaystyle FB=s-b\), azaz az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontja a \(\displaystyle BC\) oldalon. Az erre állított merőleges éppen a beírt kör sugarára illeszkedik. Igaz ez a másik két oldal esetében is, ezzel beláttuk, hogy a három felezőmerőleges a beírt kör \(\displaystyle I\) középpontjában metszi egymást, ami nyilván egyenlő távolságra van mindhárom oldalegyenestől. Ezzel az állítást beláttuk. Azt is látjuk, hogy az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\), \(\displaystyle S\) pontok köré írt kör sugara \(\displaystyle \sqrt{s^2+r^2}\), ahol \(\displaystyle r\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének sugara.

Statistics:

97 students sent a solution.
4 points:	87 students.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025