Problem B. 5444. (February 2025)

B. 5444. In cyclic hexagon \(\displaystyle ABCDEF\) let \(\displaystyle P\) denote the intersection of diagonals \(\displaystyle AD\) and \(\displaystyle CF\), and let \(\displaystyle Q\) denote the intersection of diagonals \(\displaystyle AE\) and \(\displaystyle BF\). Prove that if \(\displaystyle BC=CP\) and \(\displaystyle DP=DE\), then \(\displaystyle PQ\) bisects angle \(\displaystyle BQE\).

Proposed by: Géza Kós, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyen \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle E'\) a másik két pont a körülírt körön, amire \(\displaystyle BC=B'C=CP\), illetve \(\displaystyle DE=DE'=DP\).

A \(\displaystyle BB'F\) háromszögben a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle FC\) szögfelezőnek az a pontja, amelyre \(\displaystyle {BC=B'C=CP}\), tehát \(\displaystyle P\) a beírt kör középpontja. (Lásd pl. a B. 5291. feladat 1. megoldását.) Ugyanígy, az \(\displaystyle AEE'\) háromszögbe írt kör középpontja is \(\displaystyle P\).

A \(\displaystyle BB'F\) és az \(\displaystyle AEE'\) háromszög körülírt köre ugyanaz, és a beírt kör középpontja is. Például az Euler-féle \(\displaystyle d^2=r(r-2\varrho)\) képlet miatt a két háromszög beírt köre is ugyanakkora sugarú. Emiatt \(\displaystyle QE\) és \(\displaystyle QB\) a közös beírt kör két érintője, és \(\displaystyle QP\) felezi a \(\displaystyle BQE\sphericalangle\)-et.

2. megoldás. Legyen a körülírt kör sugara \(\displaystyle r\), ekkor az \(\displaystyle FBC\) és az \(\displaystyle ADE\) háromszögben \(\displaystyle \dfrac{BC}{\sin BFC\sphericalangle}=\dfrac{DE}{\sin DAE\sphericalangle}=2r\). Az \(\displaystyle APQ\) és a \(\displaystyle QPF\) háromszögben a szinusztétel szerint \(\displaystyle \dfrac{AP}{\sin AQP\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin PAQ\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin DAE\sphericalangle}\), illetve \(\displaystyle \dfrac{PF}{\sin PQF\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin QFP\sphericalangle}=\dfrac{PQ}{\sin BFC\sphericalangle}\). A \(\displaystyle P\) pontnak a körülírt körre vonatkozó hatványa \(\displaystyle -PA\cdot PD=-PC\cdot PF\). Mindezeket felhasználva

\(\displaystyle \sin AQP\sphericalangle =\dfrac{AP\cdot\sin DAE\sphericalangle}{PQ} =\dfrac{AP \cdot DE}{PQ\cdot2r} =\dfrac{AP \cdot PD}{PQ\cdot2r} \)

\(\displaystyle =\dfrac{PF \cdot PC}{PQ\cdot2r} =\dfrac{PF \cdot BC}{PQ\cdot2r} =\dfrac{PF\cdot\sin BFC\sphericalangle}{PQ} =\sin PQF\sphericalangle. \)

Ebből az állítás azonnal következik.

Statistics:

13 students sent a solution.
6 points:	Aravin Peter, Holló Martin, Li Mingdao, Sha Jingyuan, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás.
3 points:	1 student.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025