Problem B. 5452. (March 2025)

B. 5452. For positive integer \(\displaystyle n\geq 3\) let points \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle P_n\) be chosen on a parabola with focus \(\displaystyle F\) such that \(\displaystyle \angle P_1FP_2=\angle P_2FP_3=\ldots=\angle P_nFP_1=\frac{360^\circ}{n}\). Prove that the harmonic mean of the distances \(\displaystyle FP_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle FP_n\) eaquals the parameter of the parabola.

Proposed by: Gábor Holló, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során a szögek értékét radiánban adjuk meg.

Először is bebizonyítjuk az alábbi ismert lemmát:

Tetszőleges \(\displaystyle n>1\) egész és valós \(\displaystyle \varphi\) esetén \(\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)}+\sin {\left(\varphi + 2 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}+\cdots + \sin {\left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}= 0\).

A lemma az alábbi ismert trigonometrikus összegzési képlet egyszerű következménye: tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén \(\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\sin {(\varphi +(n-1)\alpha )}=\frac {{\sin {\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}}\cdot \sin \left(\varphi +{\frac {(n-1)\alpha }{2}} \right)}{ \sin {\frac {\alpha }{2}}}\).

Ha ugyanis ebbe az összegzési képletbe \(\displaystyle \alpha = \frac{2 \pi}{n}\)-t helyettesítünk éppen a bizonyítandó lemmát kapjuk.

Ettől van elegánsabb bizonyítás is a lemmára, most ezt is megmutatjuk.

A lemma (második) bizonyítása során komplex számokkal dolgozunk. Tekintsük a \(\displaystyle z = \cos \varphi + i \sin \varphi\) komplex számot, és ezt szorozzuk meg rendre az \(\displaystyle \varepsilon_0=1; \varepsilon_1= \cos \frac{2 \pi}{n} + i \sin \frac{2 \pi}{n}; ... ;\varepsilon_{n-1}= \cos \frac{2 (n-1) \pi}{n} + i \sin \frac{2 (n-1)\pi}{n}\) számokkal, azaz az \(\displaystyle n\)-dik komplex egységgyökökkel. Jelölje a \(\displaystyle z \cdot \varepsilon_k\) szorzatot \(\displaystyle z_k\) (így például \(\displaystyle z=z_0\)), és adjuk össze a \(\displaystyle z_0+ z_1+ ... + z_{n-1}\) számokat kétféle módon is.

Először: \(\displaystyle z_0+ z_1+ ... + z_{n-1} = z (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + ... + \varepsilon_{n-1}) = 0\), hiszen az \(\displaystyle n\)-edik egységgyökök összege \(\displaystyle n>1\) esetén éppen 0. Mivel az összeg értéke 0, valós és képzetes része is 0.

Másodszor (mivel trigonometrikus alakban megadott komplex számokat szorzunk össze): \(\displaystyle z_k=z \cdot \varepsilon_k= \cos {\left(\varphi + \frac{2 k \pi}{n} \right)} + i \cdot \sin {\left(\varphi + \frac{2 k\pi}{n} \right)}\), és így \(\displaystyle z_0+ z_1+ ... + z_{n-1}= \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi + \cos {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)} + i \cdot \sin {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)} + ... + \cos {\left(\varphi + \frac{2 (n-1) \pi}{n} \right)} + i \cdot \sin {\left(\varphi + \frac{2 (n-1)\pi}{n} \right)}\). Ennek az összegnek a képzetes része pedig éppen \(\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {\left(\varphi + \frac{2 \pi}{n} \right)}+\sin {\left(\varphi + 2 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}+\cdots + \sin {\left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}\), ami az első összegzés alapján pontosan 0.

Ezzel a lemmát (komplex számok segítségével is) beláttuk. (A bizonyításokból természetesen következik – mivel az összeg valós része is 0 – a lemmához hasonló ,,koszinuszos'' összefüggés is.)

Ezután térjünk rá magára a feladatra; az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a \(\displaystyle p\) paraméterű parabolánk – az alábbi ábrának megfelelően, ahol az \(\displaystyle n=5\) esetet ábrázoltuk – fókuszpontja \(\displaystyle F(0;\frac{p}{2})\), vezéregyenesének egyenlete \(\displaystyle y=-\frac{p}{2}\), továbbá jelölje \(\displaystyle FP_1\) félegyenese és az \(\displaystyle x\)-tengely (pozitív fele) által bezárt szöget \(\displaystyle \varphi \neq \frac{\pi}{2}\). (A feladat szövege alapján a többi \(\displaystyle P_k\) pont esetén hasonlóan definiálható \(\displaystyle \varphi_k = \varphi + (k-1) \cdot \frac{2 \pi}{n}\) szögek is különböznek \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)-től. )

Ha az \(\displaystyle FP_1\) távolságot \(\displaystyle r_1\)-gyel jelöljük, akkor \(\displaystyle P_1\) kordinátáira teljesül \(\displaystyle P_1\left( r_1 \cos \varphi; r_1 \sin \varphi + \frac{p}{2} \right)\), másfelől a parabola definíciója alapján \(\displaystyle r_1\) éppen megegyezik \(\displaystyle P_1\)-nek a vezéregyenestől vett távolságával, amiből következik, hogy \(\displaystyle r_1 = r_1 \sin \varphi + \frac{p}{2} + \frac{p}{2} = r_1 \sin \varphi +p \), innen adódik, hogy \(\displaystyle r_1(1 - \sin \varphi) = p\) és végül \(\displaystyle \dfrac{1}{r_1} = \dfrac{1 - \sin \varphi}{p}\).

A többi \(\displaystyle FP_i=r_i\) távolságra (a feladat feltételei alapján) hasonlóan adódik, hogy \(\displaystyle \dfrac{1}{r_i} = \dfrac{1 - \sin \left(\varphi + (i-1)\cdot \frac{2 \pi}{n} \right)}{p}\).

Az eddigiek alapján az \(\displaystyle r_i=FP_i\) távolságok harmonikus közepe

\(\displaystyle H(r_1;r_2;...;r_n) = \dfrac{n}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + ... + \frac{1}{r_n}} = \dfrac{np}{(1 - \sin \varphi) + \left(1 - \sin \left(\varphi + 1 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) \right) + ... + \left(1 - \sin \left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) \right)} = \)

\(\displaystyle =\dfrac{np}{n- \left(\sin \varphi + \sin \left(\varphi + 1 \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) + ... + \sin \left(\varphi + (n-1) \cdot \frac{2 \pi}{n} \right) \right)} .\)

Az utolsó alak nevezőjében pedig a zárójelben az elsőként igazolt összefüggés alapján éppen \(\displaystyle 0\) áll. De akkor \(\displaystyle H(r_1;r_2;...;r_n) =\dfrac{np}{n}=p\) adódik, tehát az \(\displaystyle FP_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle FP_n\) távolságok harmonikus közepe valóban a parabola paraméterével egyenlő.

Megjegyzés: Ha megengedjük, hogy valamely \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle \varphi_i = \dfrac{\pi}{2}\) és így a hozzá tartozó \(\displaystyle P_i\) az ,,ideális'', végtelen távoli pont legyen, akkor az ehhez tartozó \(\displaystyle \dfrac{1}{r_i}\)-t természetes módon \(\displaystyle 0\)-nak tekintve továbbra is igaz marad a feladat állítása ezzel a ,,kitejesztett harmonikus középpel''.

Statistics:

18 students sent a solution.
6 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Diaconescu Tashi, Gyenes Károly, Holló Martin, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Vámosi Bendegúz Péter, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton.
2 points:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025