Problem B. 5453. (March 2025)
B. 5453. The faces of a convex polyhedron are quadrilaterals \(\displaystyle ABCD\), \(\displaystyle ABFE\), \(\displaystyle CDHG\), \(\displaystyle ADHE\) and \(\displaystyle EFGH\) according to the diagram. The edges from points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle G\), respectively are pairwise perpendicular. Prove that \(\displaystyle [ABCD]^2+[ABFE]^2+[ADHE]^2 = [BCGF]^2+[CDHG]^2+[EFGH]^2,\) where \(\displaystyle [XYZW]\) denotes the area of quadrilateral \(\displaystyle XYZW\).
Proposed by: Géza Kós, Budapest)
(6 pont)
Deadline expired on April 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A következő jól ismert tételt fogjuk használni: ha egy poliéder minden lapjára merőlegesen kifelé rajzolunk egy vektort, amelynek hossza éppen az adott lap területe, akkor ezen vektorok összege a nullvektor. (Bővebben lásd itt és itt. Az állítás szorosan kapcsolódik a nevezetes, 1897-ből származó Minkowski-problémához (illetve annak a speciális esetéhez), amellyel kapcsolatban Minkowski eredeti cikke itt olvasható.)
Rátérve a feladat megoldására, jelölje tehát a fenti eredménynek megfelelően \(\displaystyle \mathbf{t}_{XYZW}\) az \(\displaystyle XYZW\) lap kifelé mutató normálvektorát, amelynek hossza éppen \(\displaystyle XYZW\) lap területe. Ekkor a tétel szerint
\(\displaystyle \mathbf{t}_{ABCD} +\mathbf{t}_{ABFE} +\mathbf{t}_{ADHE} +\mathbf{t}_{BCGF} +\mathbf{t}_{CDHG} +\mathbf{t}_{EFGH} = \mathbf{0}. \)
Mivel az \(\displaystyle A\) csúcsra illeszkedő élek páronként merőlegesek, így a rá illeszkedő lapok is páronként merőlegesek, vagyis \(\displaystyle \mathbf{t}_{ABCD}\), \(\displaystyle \mathbf{t}_{ABFE}\) és \(\displaystyle \mathbf{t}_{ADHE}\) normálvektoraik is páronként merőlegesek. Merőleges vektorok skalárszorzata \(\displaystyle 0\), ezért
\(\displaystyle \Big (\mathbf{t}_{ABCD} +\mathbf{t}_{ABFE} +\mathbf{t}_{ADHE} \Big )^2=\mathbf{t}^2_{ABCD} +\mathbf{t}^2_{ABFE} +\mathbf{t}^2_{ADHE}+2\mathbf{t}_{ABCD}\mathbf{t}_{ABFE} +2\mathbf{t}_{ABCD} \mathbf{t}_{ADHE}+2 \mathbf{t}_{ABFE}\mathbf{t}_{ADHE}= \mathbf{t}^2_{ABCD} +\mathbf{t}^2_{ABFE} +\mathbf{t}^2_{ADHE}.\)
Ugyanígy
\(\displaystyle \Big(\mathbf{t}_{BCGF} +\mathbf{t}_{CDHG} +\mathbf{t}_{EFGH}\Big)^2=\mathbf{t}^2_{BCGF} +\mathbf{t}^2_{CDHG} +\mathbf{t}^2_{EFGH}.\)
Ezekből az állítás következik, ugyanis
\(\displaystyle [ABCD]^2+[ABFE]^2+[ADHE]^2= \mathbf{t}^2_{ABCD} +\mathbf{t}^2_{ABFE} +\mathbf{t}^2_{ADHE} = \Big(\mathbf{t}_{ABCD}+\mathbf{t}_{ABFE}+\mathbf{t}_{ADHE}\Big)^2 = \)
\(\displaystyle = \Big(-\mathbf{t}_{BCGF}-\mathbf{t}_{CDHG}-\mathbf{t}_{EFGH}\Big)^2=\mathbf{t}^2_{BCGF} +\mathbf{t}^2_{CDHG} +\mathbf{t}^2_{EFGH} = [BCGF]^2+[CDHG]^2+[EFGH]^2. \)
Statistics:
3 students sent a solution. 6 points: Aravin Peter, Gyenes Károly. 5 points: Kámán-Gausz Péter.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025