Problem B. 5459. (April 2025)

B. 5459. Find all functions $\displaystyle f\colon\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ satisfying $\displaystyle f(x)+f(y)=\frac{f(x+2y)+f(2x-y)}{5}$ for all rational numbers $\displaystyle x$, $\displaystyle y$.

Proposed by: Erik Füredi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a feladatban szereplő függvényegyenlet állítását $\displaystyle P(x,y)$. Ekkor

$$\begin{align*} P(0,0):\quad&2f(0)={2\over 5}f(0),\\ &f(0)=0,\\ P(x,0):\quad&f(x)=\frac{f(x)+f(2x)}{5},\\ &f(2x)=4f(x),\\ P(0,x):\quad&f(x)=\frac{f(2x)+f(-x)}{5}=\frac{4f(x)+f(-x)}{5},\\ &f(-x)=f(x). \end{align*}$$

Ezen állításokkal felvértezve először belátjuk, hogy $\displaystyle f(nx)=n^2f(x)$ minden $\displaystyle n$ nemnegatív egészre és $\displaystyle x\in\mathbb{Q}$-ra. Ehhez indukciót használunk $\displaystyle n$-re. $\displaystyle f(0)=0=0^2f(x)$ és $\displaystyle f(x)=1^2f(x)$ szolgálnak alapesetként. Tegyük fel, hogy a $\displaystyle 0,1,\dots,m-1$ számokra már beláttuk az állítást. Ekkor ha $\displaystyle m$ páros, akkor $\displaystyle m=2k$ valamely $\displaystyle k\in\{0,1,\dots,m-1\}$-re, vagyis $\displaystyle f(mx)=f(2kx)=4f(kx)=4k^2f(x)=k^2f(x)$. Ha $\displaystyle m$ páratlan, vagyis $\displaystyle m=2k+1$, akkor

$$\begin{align*} P(x,kx): f(x)+f(kx)&=\frac{f(x+2kx)+f(2x-kx)}{5}=\\ &=\frac{f(m)+f((k-2)x)}{5}. \end{align*}$$

Ha $\displaystyle k\geq 2$, akkor $\displaystyle k-2\in\{0,1,\dots,m-1\}$, és a fentiekből

$$\begin{align*} f(m)&=5f(x)+5f(kx)-f((k-2)x)=f(x)(5+5k^2-(k-2)^2)=\\ &=f(x)(4k^2+4k+1)=(2k+1)^2f(x)=m^2f(x). \end{align*}$$

Ha $\displaystyle k=1$, azaz $\displaystyle m=3$, akkor $\displaystyle f(3x)=5f(x)+5f(x)-f(-x)=9f(x)=3^2f(x)$. Ezzel minden indukciós lépés kész.

Mivel $\displaystyle f(x)=f(-x)$, azonnal kapjuk, hogy $\displaystyle f(nx)=n^2f(x)$ negatív $\displaystyle n$ esetén is teljesül. Ekkor minden $\displaystyle n$ egészre $\displaystyle f(n)=n^2f(1)$, és minden $\displaystyle \frac{n}{m}\in\mathbb{Q}$-ra $\displaystyle m^2f(\frac{n}{m})=f(n)=n^2f(1)$, tehát $\displaystyle f(\frac{n}{m})=\frac{n^2}{m^2}f(1)$.

Vagyis a megoldások az $\displaystyle f(x)=cx^2$ alakú függvények valamely $\displaystyle c\in\mathbb{Q}$ konstansra.

Statistics:

52 students sent a solution.

5 points: Ali Richárd, Baran Júlia, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Gyenes Károly, Holló Martin, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sha Jingyuan, Zhai Yu Fan (12 students).

4 points: Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bolla Donát Andor, Fajszi Horka, Hodossy Réka, Pázmándi József Áron, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Szabó 721 Sámuel, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell (12 students).

3 points: 7 students.

2 points: 5 students.

1 point: 7 students.

0 points: 6 students.

Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 script.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2025

52 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Baran Júlia, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Gyenes Károly, Holló Martin, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sha Jingyuan, Zhai Yu Fan	(12 students).
4 points:	Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bolla Donát Andor, Fajszi Horka, Hodossy Réka, Pázmándi József Áron, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Szabó 721 Sámuel, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Wiener Marcell	(12 students).
3 points:	7 students.
2 points:	5 students.
1 point:	7 students.
0 points:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 script.

Already signed up?
New to KöMaL?