Problem B. 5470. (September 2025)

B. 5470. 1001, 2002 and 3003 are three consecutive elements of the \(\displaystyle 14^{\text{th}}\) row of Pascal's triangle. Does there exist another row where three consecutive elements are of the form \(\displaystyle n\), \(\displaystyle 2n\) and \(\displaystyle 3n\) for some positive integer \(\displaystyle n\)?

Proposed by: Bálint Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a Pascal-háromszög \(\displaystyle k\)-adik sorában a \(\displaystyle \binom{k}{i-1},\binom{k}{i},\binom{k}{i+1}\) binomiális együttható értéke rendre \(\displaystyle n,2n,3n\). Ekkor egyrészt

\(\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{n}{2n}=\frac{\binom{k}{i-1}}{\binom{k}{i}}=\frac{i}{k-i+1},\)

másrészt

\(\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{3n}{2n}=\frac{\binom{k}{i+1}}{\binom{k}{i}}=\frac{k-i}{i+1}.\)

Az első egyenletből \(\displaystyle k-i+1=2i\), és így \(\displaystyle k=3i-1\) adódik, a másodikból pedig \(\displaystyle 3i+3=2k-2i\), vagyis \(\displaystyle 2k=5i+3\). Ezért \(\displaystyle k=6k-5k=3(5i+3)-5(3i-1)=14\), tehát mindez csak a Pascal-háromszög 14. sorában lehet.

(Ekkor \(\displaystyle i\) értékére \(\displaystyle i=(k+1)/3=5\) adódik, ezzel a feladat szövegében is megadott \(\displaystyle \binom{14}{4}=1001,\binom{14}{5}=2002,\binom{14}{6}=3003\) hármast kapjuk.)

A feladat kérdésére tehát az a válasz, hogy a Pascal-háromszög másik (14.-től eltérő) sorában mindez nem fordul elő.

Statistics:

151 students sent a solution.
3 points:	141 students.
2 points:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025