Problem B. 5471. (September 2025)

B. 5471. At most how many positive integers can be chosen from the first 50 positive integers such that no two have a product which is a perfect \(\displaystyle 4^\text{th}\) power?

Proposed by: Péter Pál Pach, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy mely negyedik hatványok jöhetnek létre két különböző 50-től nem nagyobb pozitív egész szorzataként. Mivel \(\displaystyle 50 \cdot 49 = 2450\) és \(\displaystyle 8^4=4096\), ezért a szorzatként esetleg előálló ,,problémás'' negyedik hatványok: \(\displaystyle 1^4, 2^4, ..., 7^4\). Most megvizsgáljuk, hogy ezek a negyedik hatványok hogyan állhatnak elő két \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 50\) közötti különböző egész szám ,,problémás'' szorzataként.

– \(\displaystyle 1^4=1\) esetén nincs megfelelő szorzat;

– \(\displaystyle 2^4=16\) esetén csak az \(\displaystyle 1 \cdot 16\), és a \(\displaystyle 2 \cdot 8\) szorzat a problémás;

– \(\displaystyle 3^4=81\) esetén csak a \(\displaystyle 3 \cdot 27\) a problémás (az \(\displaystyle 1 \cdot 81\) szorzat második tényezője már túl nagy)

– \(\displaystyle 4^4=256(=2^8)\) esetén csak a \(\displaystyle 8 \cdot 32\) a problémás (mivel a további \(\displaystyle 1 \cdot 256; 2 \cdot 128; 4 \cdot 64\) felbontások során az egyik tényező már 50 fölötti egész);

– \(\displaystyle 5^4=625\) esetén nincs problémás pár mivel a lehetséges felbontások: \(\displaystyle 1 \cdot 625\) és \(\displaystyle 5 \cdot 125\)

– \(\displaystyle 6^4=1296(=2^4 \cdot 3^4)\) esetén csak a \(\displaystyle 27 \cdot 48\) a problémás (mivel \(\displaystyle 1296\)-nak a gyöke, azaz \(\displaystyle 36\) fölött a két legkisebb osztója \(\displaystyle 48\), majd \(\displaystyle 54\); azaz a további szorzatok egyik tényezője már legalább \(\displaystyle 54\))

– míg \(\displaystyle 7^4=2401\) esetén nincs megfelelő megoldás (hiszen az \(\displaystyle 1 \cdot 2401\) és a \(\displaystyle 7 \cdot 343\) szorzatokban is van 50-nél nagyobb egész).

Ezek alapján a problémás számpárainkat három csoportba sorolva:

– első ,,csoport'': (1;16),

– második csoport (2;8) és (8;32) , illetve

– harmadik csoport (3;27) és (27;48).

Mivel a három csoportban – különböző csoportokat nézve – nincs közös szám, ezért nyilván minden csoportból legalább egy számot el kell hagynunk ahhoz, hogy ne keletkezzen szorzatként negyedik hatvány. Azaz összesen legalább 3 szám elhagyandó. Másfelől viszont ha a második csoportból a 8-at, a harmadik csoportból a 27-et hagyjuk el, az első csoportból pedig az 1 és 16 közül pontosan az egyiket, akkor a maradék 47 szám közül semelyik kettő szorzata nem lesz negyedik hatvány.

Válasz: Vagyis legfeljebb 47 számot lehet kiválasztani.

Statistics:

153 students sent a solution.
3 points:	113 students.
2 points:	20 students.
1 point:	5 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025