Problem B. 5472. (September 2025)

B. 5472. Convex quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) satisfies property \(\displaystyle AB=BC=CD\). Prove that if \(\displaystyle \angle BCD=2\angle DAB\), then \(\displaystyle \angle ABC=2\angle CDA\).

Proposed by: Géza Kós, Budapest and Viktor Vígh, Sándorfalva

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a négyszög \(\displaystyle A\) csúcsnál fekvő szöge \(\displaystyle \alpha\), a \(\displaystyle D\) csúcsnál fekvő szöge \(\displaystyle \delta\). A feladat feltétele alapján \(\displaystyle BCD\sphericalangle=2\alpha\) és bizonyítanunk kell, hogy \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2\delta\).

Tükrözzük a négyszöget az \(\displaystyle AD\) oldalegyenesre. \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok tükörképei az ábra szerint rendre \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\). Így kapjuk az \(\displaystyle ABCDC'B'\) hatszöget. A tükrözés és a feltétel miatt egyrészt

\(\displaystyle B'AB\sphericalangle=BCD\sphericalangle=DC'B'\sphericalangle=2\alpha,\)

másrészt a hatszögnek mindegyik oldala ugyanakkora, így a \(\displaystyle B'AB, ~BCD\) és \(\displaystyle DC'B'\) háromszögek egybevágók, a \(\displaystyle BDB'\) háromszög szabályos.

Így \(\displaystyle ABC,~CDC'\) és \(\displaystyle C'B'A\) egybevágó egyenlő szárú háromszögek, hiszen két-két száruk a négyszög egyenlő oldalai vagy azok tükörképei közül kerül ki, szárszögeik pedig a \(\displaystyle B'AB, ~BCD\) és \(\displaystyle DC'B'\) háromszögek egybevágósága alapján s azt felhasználva, hogy a \(\displaystyle BDB'\) háromszög oldalaira kifelé írtak ugyanakkorák. Így \(\displaystyle ABC \sphericalangle = CDC' \sphericalangle = 2 \cdot CDA \sphericalangle = 2 \delta\), éppen ezt szerettük volna bizonyítani.

Diszkusszió. A \(\displaystyle CDC' \sphericalangle = 2 \cdot CDA \sphericalangle\) egyenlőségnél kihasználjuk, hogy \(\displaystyle CDA\sphericalangle = \delta\) hegyesszög (azaz \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle CC'\) egyenes különböző oldalára esik). Ez következik a feladat feltételeiből, mint azt a következőkben belátjuk.

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög konvex, így \(\displaystyle \alpha\) biztosan hegyesszög. Az \(\displaystyle ABC\) szögről tudjuk, hogy konvex, továbbá

\(\displaystyle ABC\sphericalangle=ABB'\sphericalangle+60^\circ+DBC\sphericalangle=60^\circ+2(90^\circ-\alpha)<180^\circ. \)

Innen rendezéssel \(\displaystyle \alpha>30^\circ\), és így:

\(\displaystyle \delta = ADB\sphericalangle + BDC\sphericalangle = 30^\circ + (90^\circ-\alpha) < 90^\circ. \)

Statistics:

104 students sent a solution.
4 points:	71 students.
3 points:	10 students.
2 points:	9 students.
1 point:	2 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025