Problem B. 5475. (September 2025)

B. 5475. Show an example of a regular polygon, the area of which equals the product of two of its diagonals.

Proposed by: Mihály Hujter, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Van ilyen szabályos sokszög. Legyen \(\displaystyle A_1A_2A_3A_4\ldots A_{11}A_{12}\) egy szabályos 12-szög, jelölje a körülírt körének sugarát \(\displaystyle r\), középpontját \(\displaystyle K\).

A csúcsokat a középponttal összekötve a sokszöget 12 olyan egybevágó egyenlő szárú háromszögre vágjuk, melyek szárainak hossza \(\displaystyle r\), a szárak által bezárt szög pedig \(\displaystyle \frac{360^\circ}{12}\). Egy ilyen háromszög területe \(\displaystyle \frac{r^2 \sin(30^\circ)}{2} = \frac{r^2}{4}\), tehát a 12-szög területe ennek 12-szerese, azaz \(\displaystyle 3r^2\).

\(\displaystyle KA_1A_5\) egy olyan egyenlő szárú háromszög, amelynek \(\displaystyle KA_1\) és \(\displaystyle KA_5\) szárai \(\displaystyle 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\)-os szöget zárnak be, tehát \(\displaystyle A_1A_5 = \sqrt{3} r\). (Ez kiszámítható pl. koszinusztétellel, vagy fél szabályos háromszögekre hivatkozva).

Található másik ugyanilyen hosszú átló (pl. \(\displaystyle A_2A_6\)) is a 12-szögben, ezek hosszának szorzata éppen \(\displaystyle 3r^2\).

Statistics:

118 students sent a solution.
4 points:	83 students.
3 points:	13 students.
2 points:	12 students.
1 point:	4 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025