Problem B. 5477. (September 2025)

B. 5477. \(\displaystyle \Omega\) is the circumcircle of cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\). Circles \(\displaystyle \omega_1\) and \(\displaystyle \omega_2\) are internally tangent to \(\displaystyle \Omega\), and both are tangent to line segments \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\). Circles \(\displaystyle \omega_1\) and \(\displaystyle \omega_2\) intersect each other in points \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\). Prove that line \(\displaystyle PQ\) bisects arcs \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\) of circle \(\displaystyle \Omega\).

Proposed by: Géza Kós, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle CD\) ív felezőpontja, és \(\displaystyle T,U,V,W\) az ábrán megjelölt érintési pontok.

Az \(\displaystyle \Omega\)-hoz \(\displaystyle M\)-ben húzott érintő párhuzamos \(\displaystyle CD\)-vel, ami éppen az \(\displaystyle \omega_1\)-hez \(\displaystyle V\)-ben húzott érintő. Mivel \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \Omega\) külső (pozitív arányú) hasonlósági pontja, az érintők párhuzamossága miatt az \(\displaystyle \omega_1\)-t \(\displaystyle \Omega\)-ba vivő, \(\displaystyle T\) középpontú centrális hasonlóság \(\displaystyle V\)-t \(\displaystyle M\)-be képezi, ezért \(\displaystyle T\), \(\displaystyle V\) és \(\displaystyle M\) kollineárisak. Ugyanígy \(\displaystyle U\), \(\displaystyle W\) és \(\displaystyle M\) is kollineárisak.

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \omega_1\) körben a \(\displaystyle V\) és \(\displaystyle T\) pontokban húzott érintők egyenlő szögeket zárnak be a \(\displaystyle VT\) húrral, ezért az ábrán egy vonallal jelölt szögek egyenlőek. Ugyanígy indokolhatunk \(\displaystyle \omega_2\) kör és \(\displaystyle WU\) húr esetén, így kapjuk a kétvonalas szögek egyenlőségét; valamint \(\displaystyle \Omega\) kör és \(\displaystyle TU\) húr esetén, amiből a háromvonalas szögek egyenlősége következik. A \(\displaystyle TVWU\) négyszögben a \(\displaystyle W\) és \(\displaystyle T\) szögek kiegészítő szögeinek összege éppen egy egyvonalas, egy kétvonalas és egy háromvonalas szög. Ugyanígy a \(\displaystyle V\) és \(\displaystyle U\) szögek kiegészítő szögeinek összege éppen egy egyvonalas, egy kétvonalas és egy háromvonalas szög. Ebből következik, hogy \(\displaystyle W\sphericalangle+T\sphericalangle=V\sphericalangle+U\sphericalangle\), s így \(\displaystyle TVWU\) húrnégyszög.

A \(\displaystyle TVWU\) kör és \(\displaystyle \omega_1\) hatványvonala \(\displaystyle TV\), míg \(\displaystyle TVWU\) kör és \(\displaystyle \omega_2\) hatványvonala \(\displaystyle UW\), ezért \(\displaystyle M=TV\cap UW\) az \(\displaystyle \omega_1\), \(\displaystyle \omega_2\) és \(\displaystyle TVWU\) körök hatványpontja. A \(\displaystyle CD\) ívet felező \(\displaystyle M\) hatványpont pedig illeszkedik \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) körök \(\displaystyle PQ\) hatványvonalára, azaz \(\displaystyle PQ\) valóban felezi a \(\displaystyle CD\) ívet. Ugyanígy igazolható, hogy \(\displaystyle PQ\) az \(\displaystyle AB\) ívet is felezi. Ezzel az állítást beláttuk.

Megjegyzés. Közismert, hogy ha adott négy kör, \(\displaystyle k_1,k_2,k_3,k_4\), és minden \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle k_i\) és \(\displaystyle k_{i+1}\) kívülről érintik egymást (\(\displaystyle k_5\equiv k_1\)); akkor a négy érintési pont egy körön van. Ennek egy változatát használtuk a megoldásban, ahol \(\displaystyle VW\) egyenes játssza az egyik kör szerepét, és az érintések sem mind külsők.

Statistics:

27 students sent a solution.
6 points:	Ali Richárd, Bodor Ádám, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Gyenes Károly, Hideg János, Holló Martin, Horák Zsófia, Kerekes András, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Sánta Gergely Péter, Sha Jingyuan, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
5 points:	Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Varga 511 Vivien, Vincze Marcell.
4 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025