Problem B. 5479. (October 2025)
B. 5479. Let \(\displaystyle d\) be a given positive integer. Prove that there exist infinitely many pairs \(\displaystyle (x,y)\) of positive integers such that the difference of the arithmetic and geometric mean of \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) is \(\displaystyle d\).
Proposed by László Németh, Fonyód
(3 pont)
Deadline expired on November 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feladat feltételét olyan módon rendezzük, hogy az aktuális állapot mindig következzen az utána következőből, tehát a megoldások halmaza csökkenhet; az így kapott számolást el lehet mondani visszafelé.
Rendezzük a négyzetgyököt a baloldalra:
\(\displaystyle \frac{x+y}{2} - \sqrt{xy} = d, \)
| \(\displaystyle x+y - 2d = 2\sqrt{xy}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
Ez csak olyan \(\displaystyle (x,y)\) párokra teljesülhet, amelyekre \(\displaystyle x+y\ge 2d\).
Négyzetre emelés után rendezzük az egyenletet az \(\displaystyle x\) hatványai szerint:
\(\displaystyle x^2 +y^2 + 2xy + 4d^2 - 4dx -4dy = 4xy, \)
| \(\displaystyle x^2 - (2y + 4d)x + (y^2-4yd + 4d^2) = 0. \) | \(\displaystyle (2) \) |
A kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa
\(\displaystyle D= (2y + 4d)^2 - 4(y^2-4yd+4d^2) = 32yd. \)
Például ha \(\displaystyle y=2k^2d\) valamilyen \(\displaystyle k\) pozitív egésszel, akkor \(\displaystyle D=(8kd)^2\), és az \(\displaystyle (2)\) egyenlet nagyobbik gyöke
\(\displaystyle x = \frac{2y+4d + \sqrt{D}}{2} = \frac{4k^2d+4d + 8kd}{2} = 2dk^2 + 4dk +2d = 2(k+1)^2d. \)
Ezzel megkaptuk az
\(\displaystyle (x,y) = \big(2(k+1)^2d,2k^2d\big), \quad k=1,2,\ldots \)
megoldásokat.
Leolvashatjuk, hogy
\(\displaystyle x+y = 2(k+1)^2d+2k^2d > 2d , \)
ezért minden lépésünk elmondható fordított sorrendben, beleértve az \(\displaystyle (1)\) egyenlet négyzetre emelését is.
Statistics:
Problem B. 5479. is not processed yet.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025