Problem B. 5482. (October 2025)

B. 5482. We have selected an odd number of integers. We have changed one of them such that their average increased by 1, but their standard deviation did not change. Prove that the average of the originally selected numbers is an integer.

Based on a proposal by Erzsébet Berkó, Szolnok

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás Legyenek a számok \(\displaystyle x_1, \ldots , x_m\) (\(\displaystyle m\) páratlan), az átlaguk \(\displaystyle A\). Ha az átlagot növelni akarjuk \(\displaystyle 1\)-gyel, akkor az összeget \(\displaystyle m\)-mel kell növelni, szóval tegyük fel, hogy a \(\displaystyle x_1\)-et növeltük \(\displaystyle m\)-mel.

Alkalmazzuk a szórás kiszámításáról szóló ismert azonosságot: \(\displaystyle \sigma^2 = \frac{\sum (x_i)^2}m - A^2\). (Ez a valószínűségi változók körében ismert \(\displaystyle \mathbb{D}^2(X) = \mathbb{E}\left( X^2\right) - (\mathbb{E}X)^2\) azonosság statisztikai megfelelője).

Tehát

\(\displaystyle \displaystyle \frac{\sum_{i=1}^m (x_i)^2}{m} - A^2 = \sigma^2 =\frac{\sum_{i=2}^m(x_i)^2}{m}+\frac{(x_1+m)^2}{m}-(A+1)^2. \)

Rendezve

\(\displaystyle 2x_1+m=2A+1,\)

tehát \(\displaystyle A=x_1+\frac{m-1}{2}\), amely egy egész szám, mivel \(\displaystyle m\) páratlan.

Statistics:

Problem B. 5482. is not processed yet.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025