Problem B. 5487. (November 2025)

B. 5487. Positive numbers \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle a_{2025}\) satisfy \(\displaystyle a_1=1\) and \(\displaystyle \frac{1}{a_1+a_2}+\frac{1}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}=a_n-1\) for every \(\displaystyle 2\le n\le 2025\). Find the value of \(\displaystyle a_{2025}\).

Based on the idea of Mihály Bencze, Brasov

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n\geq 3\). A feltételt \(\displaystyle (n-1)\)-re és \(\displaystyle n\)-re is alkalmazva azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle a_n-1=a_{n-1}-1+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}.\)

Ez az egyenlet \(\displaystyle n=2\) esetén is teljesül, hiszen ekkor \(\displaystyle a_{n-1}-1=a_1-1=0\).

Rendezés és \(\displaystyle (a_{n-1}+a_n)\)-nel való szorzás után az \(\displaystyle a_n^2-a_{n-1}^2=1\) összefüggést kapjuk. Ebből (\(\displaystyle n\)-re vonatkozó indukcióval) világos, hogy \(\displaystyle a_n^2=n\), vagyis \(\displaystyle a_n= \sqrt{n}\) minden \(\displaystyle n\geq 1\) esetén (hiszen \(\displaystyle a_n\) pozitív).

Megmutatjuk \(\displaystyle n\)-re vonatkozó indukcióval, hogy ekkor a feltételek valóban teljesülnek. Ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1\) átszorzással ellenőrizhető. Az indukciós lépés igazolásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\geq 3\) és \(\displaystyle (n-1)\)-ig már igazoltuk ezt. Ekkor

\(\displaystyle \frac{1}{a_1+a_2}+\frac{1}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}=a_{n-1}-1+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}=a_n-1,\)

ahol az utolsó egyenlőség a korábban is alkalmazott átalakítások szerint \(\displaystyle a_n^2-a_{n-1}^2=n-(n-1)=1\) alapján teljesül.

Így \(\displaystyle a_{2025}\) értéke \(\displaystyle \sqrt{2025}=45\).

Megjegyzés. A megoldásban írtakhoz hasonlóan adódik, hogy a feladatot a valós számok körében vizsgálva \(\displaystyle a_n=\pm \sqrt{n}\) minden \(\displaystyle n\geq 1\) esetén. Tudjuk, hogy \(\displaystyle a_1=1\) esetén pozitív az előjel, megmutatjuk \(\displaystyle n\)-re vonatkozó indukcióval, hogy a többi elem előjele tetszőlegesen lehet \(\displaystyle +\) vagy \(\displaystyle -\). Az indukciós lépés igazolásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle n\geq 2\) és \(\displaystyle (n-1)\)-ig már igazoltuk ezt. Ekkor

\(\displaystyle \frac{1}{a_1+a_2}+\frac{1}{a_2+a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}=a_{n-1}-1+\frac{1}{a_{n-1}+a_n}=a_n-1,\)

ahol az utolsó egyenlőség a korábban is alkalmazott átalakítások szerint \(\displaystyle a_n^2-a_{n-1}^2=n-(n-1)=1\) alapján teljesül. (Megjegyezzük, hogy a nevezőkben szereplő kifejezések \(\displaystyle \sqrt{k}+\sqrt{k+1},\sqrt{k}-\sqrt{k+1},-\sqrt{k}+\sqrt{k+1},-\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\) alakúak, így mind nemnullák az előjelek tetszőleges választása esetén.)

Statistics:

123 students sent a solution.
3 points:	115 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2025