Problem B. 5494. (December 2025)

B. 5494. Anna and Béla plays the following game on a \(\displaystyle 2\times 2026\) board. They take turns to place dominoes on the board until no new domino can be placed on the board. If the board is fully covered, the winner is Anna, otherwise Béla is the winner. Who has a winning strategy, if Anna is the first player? (A domino covers two adjacent squares on the board. The dominoes cannot extend beyond the edges of the board and cannot overlap each other.)

Proposed by Márton Lovas, Budakalász

(3 pont)

Deadline expired on January 12, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Annának van nyerő stratégiája.

Jelölje \(\displaystyle e\) a táblázat ,,vízszintes'' szimmetriatengelyét. Anna győzelméhez elegendő, ha a játék minden lépésében eléri, hogy a dominókkal addig lefedett rész az \(\displaystyle e\)-re szimmetrikus alakzat legyen. Ez a szimmetria pontosan akkor valósul meg, ha minden \(\displaystyle i\le 2026\)-ra teljesül, hogy a második sor \(\displaystyle i\)-edik eleme pontosan akkor van lefedve, amikor az első sor \(\displaystyle i\)-edik eleme. Kezdő lépéseként ezért Anna az első és a második sor ugyanannyiadik elemét fedi le dominóval (az ábrán \(\displaystyle f\ f\)). Ha ezután Béla is hasonlóan lép, akkor a kívánt szimmetria megmarad, és nem romlik el, ha Anna is ilyet lép másodszorra. Ha pedig Béla valamikor két, egymás melletti mezőre tesz dominót – azaz az első vagy a második sor \(\displaystyle k\)-adik és \(\displaystyle k+1\)-edik elemét fedi le (az ábrán \(\displaystyle o\ o\) vagy \(\displaystyle s\ s\)), akkor Anna ennek az \(\displaystyle e\) egyenesre való tükörképére helyez dominót.

Amikor már egyik játékos sem tud lépni, akkor a táblázat mindegyik helye le van fedve: ellenkező esetben, ha valamelyik sor \(\displaystyle j\)-edik eleme nem lenne lefedve, akkor a szimmetria miatt a másik sor \(\displaystyle j\)-edik eleme sem lenne lefedve, úgy viszont ez a két hely lefedhető volna egy dominóval.

Statistics:

126 students sent a solution.
3 points:	97 students.
2 points:	15 students.
1 point:	2 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025