Problem B. 5496. (December 2025)

B. 5496. Let \(\displaystyle p(r)\) denote the product of the divisors of positive integer \(\displaystyle r\). For a given positive integer \(\displaystyle n\) determine those positive integers \(\displaystyle k\) for which \(\displaystyle p(k^n)\) is the \(\displaystyle n^{\text{th}}\) power of an integer.

Proposed by Áron Hotváth, Nemesbőd

(4 pont)

Deadline expired on January 12, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ismert, hogy \(\displaystyle p(r)=r^{d(r)/2}\), ahol \(\displaystyle d(r)\) az \(\displaystyle r\) szám pozitív osztóinak száma. (Ez egyszerűen következik abból a megfigyelésből, hogy minden osztópárban \(\displaystyle r\) a két osztó szorzata.)

Tehát az a kérdés, hogy \(\displaystyle (k^n)^{d(k^n)/2}=\left[k^{d(k^n)/2}\right]^n\) mely \(\displaystyle k\) értékek esetén lesz egy egész \(\displaystyle n\)-edik hatványa. Vagyis, hogy \(\displaystyle k^{d(k^n)/2}\) mikor lesz egész szám. Ha \(\displaystyle 2\mid d(k^n)\), akkor biztosan egész szám. Ha \(\displaystyle 2\nmid d(k^n)\), akkor pedig pontosan akkor, ha \(\displaystyle k\) négyzetszám. (Ugyanis egy olyan egész szám páratlan kitevős hatványa, ami nem négyzetszám, szintén nem négyzetszám.) Összefoglalva, \(\displaystyle k^{d(k^n)/2}\) pontosan akkor nem egész, ha \(\displaystyle 2\nmid d(k^n)\) és \(\displaystyle k\) nem négyzetszám. Egy szám pozitív osztóinak száma pontosan akkor páratlan, ha négyzetszám, így a kapott feltétel azt jelenti, hogy \(\displaystyle k^n\) négyzetszám, de \(\displaystyle k\) nem négyzetszám. Ez pedig éppen akkor van, ha \(\displaystyle n\) páros (és \(\displaystyle k\) nem négyzetszám).

A feladat kérdésére tehát a válasz:

Ha \(\displaystyle n\) páros, akkor a megfelelő \(\displaystyle k\) pozitív egész számok a négyzetszámok; ha pedig \(\displaystyle n\) páratlan, akkor \(\displaystyle k\) bármelyik pozitív egész szám lehet.

Statistics:

75 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Balassa János, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Baran Júlia, Baranyi Ernő, Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Bodor Noémi, Budai Máté, Chemlal Youva 118, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Fajszi Horka, Fodor Barna, Görömbey Tamás, Hideg János, Holló Martin, Illés Dóra, Kókai Ákos, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Ligeti Ábel, Máté Marcell, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 707 Botond, Papp Mátyás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Schmidt Botond, Taczman Vince, Takács András, Tóth László Pál, Tóth Luca, Tulkán Dávid, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Wiener Marcell, Zhu Yi.
3 points:	11 students.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025