Problem B. 5497. (December 2025)

B. 5497. Circular arc \(\displaystyle k\) with endpoints \(\displaystyle AB\) is given. Let \(\displaystyle F\) be the midpoint of the arc. A circle is tangent internally to \(\displaystyle k\) at point \(\displaystyle P\), and tangent internally to line segment \(\displaystyle AB\) at point \(\displaystyle Q\). Prove that the sum of the radii of circle \(\displaystyle APQ\) and \(\displaystyle BPQ\) equals the length of line segment \(\displaystyle AF\).

Proposed by László Németh, Fonyód

(4 pont)

Deadline expired on January 12, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, az \(\displaystyle ABF\) kör \(\displaystyle F\)-fel átellenes pontja legyen \(\displaystyle F'\), az \(\displaystyle AQP\), ill. \(\displaystyle BPQ\) körök középpontjai \(\displaystyle K_1\), ill. \(\displaystyle K_2\).

Szimmetria miatt világos, hogy az \(\displaystyle ABFF'\) körhöz \(\displaystyle F'\)-ben húzott érintő párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel. Ebből következik, hogy ha \(\displaystyle P\)-ből a \(\displaystyle k\)-t és \(\displaystyle AB\)-t érintő kört az \(\displaystyle AF'BF\) körbe nagyítjuk, akkor \(\displaystyle Q\) képe szükségképpen \(\displaystyle F'\) kell legyen, azaz \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), és \(\displaystyle F'\) egy egyenesen van.

Középponti és kerületi szögekből

\(\displaystyle \mathbf{AK_1Q\sphericalangle} =2APQ\sphericalangle =2APF'\sphericalangle =2AFF'\sphericalangle =\mathbf{AFB\sphericalangle} =2F'FB\sphericalangle =2F'PB\sphericalangle =2QPB\sphericalangle =\mathbf{QK_2B\sphericalangle}, \)

így az \(\displaystyle AK_1Q\), \(\displaystyle AFB\) és \(\displaystyle QK_2B\) egyenlő szárú háromszögek szárszögei egyenlőek, ezért a háromszögek hasonlók. Emiatt \(\displaystyle A,K_1,F\), illetve \(\displaystyle B,K_2,F\) ponthármasok kollineárisak, további szemköztes szögei egyenlősége miatt az \(\displaystyle FK_1QK_2\) négyszög paralelogramma. Végül

\(\displaystyle AK_1+QK_2 = AK_1+K_1F = AF, \)

ami éppen a bizonyítandó állítás.

Statistics:

41 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Bodó Rókus Dániel, Bodor Noémi, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Fülöp Levente, Gaál Gergely, Hajba Milán, Hideg János, Holló Martin, Illés Dóra, József Áron, Kámán-Gausz Péter, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Lovas Márk, Mikó Hédi Irma, Miszori Márton, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Weng Chenxin, Wiener Marcell.
3 points:	Kerekes András, Nagypál Katóca, Tóth László Pál.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025