Problem B. 5501. (December 2025)
B. 5501. The incircle of triangle \(\displaystyle ABC\) is tangent to sides \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) and \(\displaystyle AB\) at points \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\), respectively. Let \(\displaystyle G\) be the antipode of point \(\displaystyle F\) on the incircle. Lines \(\displaystyle GD\) and \(\displaystyle GE\) intersect line \(\displaystyle AB\) at points \(\displaystyle D'\) and \(\displaystyle E'\), respectively. Prove that circles \(\displaystyle AED'\) and \(\displaystyle BDE'\) intersect each other on the incircle.
Proposed by Roland Jármai, Budapest
(6 pont)
Deadline expired on January 12, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB\) oldalhoz hozzáírt kör középpontja \(\displaystyle J\), érintési pontja az \(\displaystyle AB\) egyenesen \(\displaystyle H\), a \(\displaystyle JF\) egyenes és a beírt kör második metszéspontja \(\displaystyle P\ne F\). Azt állítjuk, hogy az \(\displaystyle AED'\) és \(\displaystyle BDE'\) körök átmennek a \(\displaystyle J\) és a \(\displaystyle P\) pontokon, utóbbi bizonyítja a feladat állítását.
Az \(\displaystyle AED'\) és \(\displaystyle BDE'\) körök szerepe szimmetrikus, így elég azt igazolni, hogy \(\displaystyle J\) és \(\displaystyle P\) is az \(\displaystyle AED'\) körön van.
A beírt körben \(\displaystyle FG\) átmérő, tehát a Thalész-tétel miatt \(\displaystyle EF\perp EG\). Ezért az \(\displaystyle EE'F\) háromszög derékszögű. A beírt körhöz az \(\displaystyle A\) pontból húzott \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle AF\) érintők egyenlők, így az \(\displaystyle A\) pont a \(\displaystyle EF\) befogó felezőmerőlegesének és az \(\displaystyle E'F\) átfogónak a metszéspontja, ami az átfogó felezőpontja, egyben a háromszög köré írt kör középpontja. Ezért \(\displaystyle AF=AE=AE'\).
A \(\displaystyle J\) pont az \(\displaystyle AB\) oldalhoz hozzáírt kör középpontja, emiatt az \(\displaystyle AJ\) egyenes a \(\displaystyle BAC\sphericalangle\) külső felezője, egyben az \(\displaystyle EAE'\sphericalangle\) felezője. Mivel \(\displaystyle AE=AE'\), az \(\displaystyle AE'JE\) négyszög deltoid, \(\displaystyle JA\) az \(\displaystyle EE'\) szakasz felezőmerőlegese, és \(\displaystyle AEJ\sphericalangle =JE'A\sphericalangle\).
Jól ismert, hogy (az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalaival és félkerületével kifejezve) \(\displaystyle AF=BH=s-a\) és \(\displaystyle BF=AH=s-b\), ezért \(\displaystyle E'H=E'A+AH=AF+AH=BH+BF=BH+D'B=D'H\), vagyis \(\displaystyle H\) a \(\displaystyle D'E'\) szakasz felezőpontja. A hozzáírt kör \(\displaystyle JH\) sugara merőleges az \(\displaystyle AB\) érintőre, így a \(\displaystyle D'E'J\) háromszög egyenlő szárú, és \(\displaystyle JE'D'\sphericalangle=E'D'J\sphericalangle\).
Ezek után \(\displaystyle AEJ\sphericalangle =JE'A\sphericalangle= JE'D'\sphericalangle= E'D'J\sphericalangle= AD'J\sphericalangle\) miatt az \(\displaystyle AED'\) kör átmegy a \(\displaystyle J\) ponton.
Ha \(\displaystyle P\) a beírt kör \(\displaystyle G\)-t tartalmazó \(\displaystyle FE\) ívén van, akkor \(\displaystyle EPJ\sphericalangle= EPF\sphericalangle= EFE'\sphericalangle= 180^\circ-E'AJ\sphericalangle= 180^\circ-JAE\sphericalangle\) miatt az \(\displaystyle AED'=AEJ\) kör a \(\displaystyle P\) ponton is átmegy. Ha \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle G\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle EF\) ívre esik, akkor \(\displaystyle JPE\sphericalangle= FPE\sphericalangle= 180^\circ-EFE'\sphericalangle= E'AJ\sphericalangle= JAE\sphericalangle\) miatt miatt megy át az \(\displaystyle AED'J\) kör a \(\displaystyle P\) ponton. Ha pedig \(\displaystyle P=E\), akkor pedig \(\displaystyle P\) emiatt is \(\displaystyle AED'J\) körön van.
Statistics:
19 students sent a solution. 6 points: Ali Richárd, Bodor Ádám, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Holló Martin, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Rajtik Sándor Barnabás, Schmidt Botond, Sha Jingyuan, Varga 511 Vivien, Wiener Marcell. 5 points: Kerekes András, Sajter Klaus. 4 points: 1 student. 3 points: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025