Problem B. 5503. (January 2026)

B. 5503. Let \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\) be the third vertices of the equilateral triangles on side \(\displaystyle BC\) of triangle \(\displaystyle ABC\). Prove that \(\displaystyle AP^2+AQ^2=AB^2+BC^2+CA^2\).

Proposed by Géza Kiss, Csömör

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle A\) pont tükörképe \(\displaystyle BC\) szakasz felezőpontjára \(\displaystyle A'\). Ekkor az \(\displaystyle AA'\), \(\displaystyle BC\) és a \(\displaystyle PQ\) szakaszok felezőpontjai egybeesnek, ezért \(\displaystyle APA'Q\) és \(\displaystyle ABA'C\) paralelogrammák, tehát a paralelogramma-tétel szerint:

\(\displaystyle 2AP^2+2AQ^2=A'A^2+PQ^2\)

és

\(\displaystyle 2AB^2+2AC^2=A'A^2+BC^2.\)

Mivel a \(\displaystyle PBC\) és \(\displaystyle QBC\) háromszögek szabályosak, ezért \(\displaystyle PQ\) hossza pont egy szabályos (\(\displaystyle BC\) oldalú) háromszög magasságának \(\displaystyle 2\)-szerese, tehát \(\displaystyle PQ=\sqrt{3}BC\). A fenti második egyenletbe \(\displaystyle PQ\) helyére \(\displaystyle \sqrt{3}BC\)-t helyettesítve, majd ezt az első egyenletből kivonva kapjuk:

\(\displaystyle 2(AP^2+AQ^2-AB^2-AC^2)=2(BC^2) \Longleftrightarrow AP^2+AQ^2=AB^2+BC^2+CA^2.\)

Statistics:

89 students sent a solution.
3 points:	74 students.
2 points:	10 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026