Problem B. 5504. (January 2026)
B. 5504. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) be real numbers such that not all of them are equal. Prove that \(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}>\sqrt[3]{abc}\) holds if and only if \(\displaystyle \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}>0\).
Proposed by Mátyás Barczy, Szeged and Páles Zsolt, Debrecen
(4 pont)
Deadline expired on February 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Megoldásunk kulcsa az alábbi közismert (és a zárójelek felbontásával könnyen igazolható) azonosság:
| \(\displaystyle (1) \) | \(\displaystyle x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy -xz - yz).\) |
Mivel
\(\displaystyle 2(x^2+y^2+z^2 - xy -xz -yz) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2, \)
ezért az (1) egyenlőség jobb oldalán szereplő szorzat második tényezőjére teljesül, hogy
| \(\displaystyle (2) \) | \(\displaystyle x^2+y^2+z^2 - xy -xz - yz > 0,\) |
ha \(\displaystyle x,y\) és \(\displaystyle z\) nem mind egyenlő. Következésképpen, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) nem mind egyenlő valós számok, akkor \(\displaystyle x^3+y^3+z^3 - 3xyz > 0\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle x+y+z>0\).
Ebből az \(\displaystyle x:=\sqrt[3]{a}\), \(\displaystyle y:=\sqrt[3]{b}\) és \(\displaystyle z:=\sqrt[3]{c}\) választásokkal rögtön következik a feladat állítása (mivel \(\displaystyle a,b,c\) nem mind egyenlő és a \(\displaystyle t \mapsto \sqrt[3]{t}\) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért \(\displaystyle x,y,z\) sem mind egyenlő).
Megjegyzés. Érdekességképp megmutatjuk, hogy ha \(\displaystyle a,b,c,d\) és \(\displaystyle e\) nem mind egyenlő valós számok, akkor általában nem igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{5} > \sqrt[5]{abcde} \)
akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{d}+\sqrt[5]{e}>0\). Például, ha \(\displaystyle a=b=c=d=-1\) és \(\displaystyle e=14\), akkor
\(\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{5} = 2,\qquad \sqrt[5]{abcde} = \sqrt[5]{14}\approx 1,695, \)
és
\(\displaystyle \sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{d}+\sqrt[5]{e} = \sqrt[5]{14}-4 \approx -2,305, \)
és ezért
\(\displaystyle \frac{a+b+c+d+e}{5} > \sqrt[5]{abcde}, \)
viszont \(\displaystyle \sqrt[5]{a}+\sqrt[5]{b}+\sqrt[5]{c}+\sqrt[5]{d}+\sqrt[5]{e}<0\).
Statistics:
82 students sent a solution. 4 points: 75 students. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026