Problem B. 5506. (January 2026)

B. 5506. Solve the following equation on the set of positive integers: \(\displaystyle x^5-xy^2+y^2=1\).

Proposed by István Molnár, Békéscsaba

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletet rendezve, majd az ismert \(\displaystyle a^n-b^n= (a-b)\left( a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1} \right)\) azonosság segítségével szorzattá alakítva: \(\displaystyle x^5-1 - y^2(x-1)=0\), és \(\displaystyle (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1-y^2)\) adódik.

Innen vagy \(\displaystyle x-1=0\), azaz \(\displaystyle x=1\) (és \(\displaystyle y\) bármilyen pozitív egész szám lehet, és ez nyilvánvalóan helyes megoldás), vagy \(\displaystyle x^4+x^3+x^2+x+1-y^2=0\).

A (második) \(\displaystyle x^4+x^3+x^2+x+1-y^2=0\) esetet vizsgálva, az egyenletet rendezve, és \(\displaystyle 4\)-gyel szorozva a következő egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle (*) \quad 4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4 \: .\)

Innen két oldalról is becsléseket fogunk adni a \(\displaystyle (*)\)-gal jelölt egyenlet bal oldalára.

Egyfelől \(\displaystyle 4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2\), és mivel a jobb oldalon álló összeg utolsó két tagja pozitív, így \(\displaystyle 4y^2>(2x^2+x)^2\),

másfelől pedig \(\displaystyle 4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+4x^3+9x^2+4x+4-5x^2=(2x^2+x+2)^2-5x^2\), így az előzőhöz hasonlóan \(\displaystyle 4y^2<(2x^2+x+2)^2\).

Mivel a \(\displaystyle 4y^2\) négyzetszámot ,,beszorítottuk'' a ,,másodszomszédos'' \(\displaystyle (2x^2+x)^2\) és \(\displaystyle (2x^2+x+2)^2\) négyzetszámok közé, \(\displaystyle 4y^2= (2x^2+x+1)^2\), és innen \(\displaystyle 2y=2x^2+x+1\) adódik.

Ezt az eredményt a \(\displaystyle (*)\) összefüggésbe visszaírva, majd a zárójelet felbontva és rendezve:

\(\displaystyle (2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\), majd \(\displaystyle x^2-2x-3=0\) adódik.

A másodfokú egyenlet gyökei: \(\displaystyle x_1=3\) és \(\displaystyle x_2=-1\), de \(\displaystyle x_2\) nem megoldása az eredeti egyenletnek, mivel nem pozitív.

\(\displaystyle x=3\) esetén pedig \(\displaystyle 2y=22\), és így \(\displaystyle y=11\). Ez utóbbi megoldásunk helyességét ellenőrizve, valóban teljesül \(\displaystyle 3^5 - 3 \cdot 11^2 + 11^2=243 - 363 + 121=1\).

Azaz az egyenlet megoldása: \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y\) bármely pozitív egész, vagy \(\displaystyle x=3\) és \(\displaystyle y=11\).

Statistics:

82 students sent a solution.
5 points:	67 students.
4 points:	2 students.
3 points:	6 students.
2 points:	5 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026