Problem B. 5507. (January 2026)

B. 5507. Let us choose two different integers, \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) from interval \(\displaystyle (n^2,n^2+n)\), for a given \(\displaystyle n>2\) positive integer. Prove that it is not possible to find an integer number different from \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) that divides product \(\displaystyle ab\).

Proposed by Sándor Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsünk három tetszőleges, egymástól különböző \(\displaystyle a,b,m\) egész számot, amelyekre \(\displaystyle n^2<a,b,m<n^2+n\); azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle ab\) nem lehet osztható \(\displaystyle m\)-mel.

A fő ötlet az, hogy \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle b\)-t kisebb számokra cseréljük. Vegyük észre, hogy

\(\displaystyle ab \equiv (a-m)(b-m) = \pm|a-m|\cdot|b-m| \pmod{m}, \)

ezért \(\displaystyle ab\) akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle m\)-nel, ha \(\displaystyle |a-m|\cdot|b-m|\) osztható \(\displaystyle m\)-mel.

A feltevésünk szerint \(\displaystyle a\ne m\) és \(\displaystyle b\ne m\), ezért

\(\displaystyle 0 < |a-m|\cdot|b-m| < n\cdot n = n^2 < m. \)

Ebből látjuk, hogy \(\displaystyle |a-m|\cdot|b-m|\) az \(\displaystyle m\) két szomszédos többszöröse, a \(\displaystyle 0\) és az \(\displaystyle m\) közé esik, így nem lehet osztható \(\displaystyle m\)-mel.

Statistics:

53 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Baran Júlia, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Chemlal Youva 118, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Görömbey Tamás, Hajba Milán, Hideg János, Horák Zsófia, Kámán-Gausz Péter, Kerekes András, Kiss Villő Zsófia, Li Mingdao, Lovas Márk, Miszori Gergő, Miszori Márton, Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Schmidt Botond, Takács András, Tóth László Pál, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Wiener Marcell.
4 points:	Balla Ignác , Budai Máté, Fodor Barna, Hegyi Fruzsina , Holló Martin, Kókai Ákos, Kun Zsófia, Vályi Nagy Ádám András, Várhegyi Hanna.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026