Problem B. 5510. (February 2026)

B. 5510. We write real numbers on the faces of a cube such that the sum of the numbers on opposite faces is always 7. Subsequently at each vertex we take the product of the numbers written on the faces containing the given vertex. What is the largest possible value of the sum of these eight numbers?

Proposed by László Németh, Fonyód

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az egyik csúccsal érintkező lapokra írt számok legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\). Ekkor a másik három lapra írt számok: \(\displaystyle 7-a\), \(\displaystyle 7-b\) és \(\displaystyle 7-c\) (úgy, hogy a szemközti lapokon az összeg 7 legyen). Mind a nyolc csúcsnál úgy kapjuk a szorzatot, hogy az első tényező \(\displaystyle a\) vagy \(\displaystyle 7-a\), a második \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle 7-b\), a harmadik pedig \(\displaystyle c\) vagy \(\displaystyle 7-c\). Ennek a nyolc szorzatnak az összegét úgy is megkaphatjuk, hogy kiszámoljuk az alábbi szorzatot:

\(\displaystyle [a+(7-a)]\cdot [b+(7-b)] \cdot [c+(7-c)],\)

hiszen a (szögletes) zárójeleket felbontva épp a nyolc kérdéses szorzat összegét kapjuk. Világos, hogy ez a szorzat \(\displaystyle a,b,c\) értékétől függetlenül \(\displaystyle 7^3=343\)-mal egyenlő.

Tehát a nyolc szorzat összege legfeljebb 343 lehet (valójában mindig pontosan 343 lesz).

2. megoldás. A párhuzamos lapokra írt számok legyenek \(\displaystyle \frac72\pm x\), \(\displaystyle \frac72\pm y\) és \(\displaystyle \frac72\pm z\). Ekkor a \(\displaystyle (\frac72\pm x)(\frac72\pm y)(\frac72\pm z)\) alakú szorzatokat kell összegeznünk, ahol a \(\displaystyle \pm\) előjelek egymástól függetlenül megválaszthatók. Ha felbontjuk a zárójeleket, akkor a \(\displaystyle (\frac72)^3\) szorzat előjele mind a nyolc esetben \(\displaystyle +\) lesz, míg a többi szorzaté (mint például \(\displaystyle (\frac72)^2x\), \(\displaystyle (\frac72)xy\) vagy \(\displaystyle xyz\)) négyszer \(\displaystyle +\) és négyszer \(\displaystyle -\). Így a teljes összeg \(\displaystyle x,y,z\) értékétől függetlenül \(\displaystyle 8(\frac72)^3=7^3=343\).

Tehát a nyolc szorzat összege legfeljebb 343 lehet.

Statistics:

101 students sent a solution.
3 points:	93 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026