Problem B. 5511. (February 2026)
B. 5511. Prove that if a chord intersects the diameter of the unit circle in an angle of 45 degrees, then the sum of the squares of the lengths of the two line segments created on the chord by the diameter equals 2.
Proposed by Viktor Vígh, Sándorfalva
(3 pont)
Deadline expired on March 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. Megoldás. Legyen az a két szakasz, amelyre az átmérő osztja a \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget bezáró húrt \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) hosszúságú. Ha a húr átmegy a kör középpontján, akkor természetesen \(\displaystyle x=y=1\), \(\displaystyle x^2+y^2=2\).
A továbbiakban elegendő azt vizsgálnunk, amikor a húr nem megy át a középponton. Legyenek a végpontjai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), metszéspontja az átmérővel \(\displaystyle P\), felezőpontja pedig az \(\displaystyle F\) pont. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle AP=x<y=PB\). A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, továbbá felhasználva, hogy \(\displaystyle FPO\sphericalangle=45^\circ\), tudjuk, hogy \(\displaystyle PFO\) egyenlő szárú derékszögű háromszög. A húr hosszának fele \(\displaystyle FB=FA=\frac{x+y}{2}\), innen számolható az \(\displaystyle OF\) szakasz hossza is:
\(\displaystyle OF=FP=\frac{x+y}{2}-x=\frac{y-x}{2}.\)
Végül írjuk fel az egységnyi átfogójú \(\displaystyle OFB\) háromszögre a Pitagorasz-tételt:
\(\displaystyle OF^2+FB^2=1,\)
\(\displaystyle \left(\frac{y-x}{2}\right)^2+\left(\frac{y+x}{2}\right)^2=\frac{y^2+2xy+x^2+y^2-2xy+x^2}{4}=\frac{2y^2+2x^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{2}=1.\)
Tehát valóban a \(\displaystyle P\) pont választásától függetlenül \(\displaystyle x^2+y^2=2\).
2. Megoldás. Az első megoldás jelöléseit megtartva most tükrözzük az \(\displaystyle AB\) húrt az átmérő egyenesére, a végpontok legyenek \(\displaystyle A'\) és \(\displaystyle B'\). A távolságtartás alapján \(\displaystyle A'P=x\) és \(\displaystyle B'P=y\).
A húr és az átmérő \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be, így a tükrözés után \(\displaystyle BPB'\) egyenlő szárú derékszögű háromszög. Emiatt az \(\displaystyle A'B\) húrhoz tartozó kerületi szög \(\displaystyle A'B'B\sphericalangle=45^\circ\). Az egységsugarú körben így az \(\displaystyle A'B\) húr hosszára
\(\displaystyle A'B=2\cdot \sin 45^\circ=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)
értéket kapunk. Nincs más lépés hátra, mint az \(\displaystyle A'PB\) derékszögű háromszögre felírni a Pitagorasz-tételt:
\(\displaystyle x^2+y^2=A'P^2+BP^2=A'B^2=(\sqrt{2})^2=2. \)
Statistics:
78 students sent a solution. 3 points: 71 students. 2 points: 6 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026