Problem B. 5512. (February 2026)

B. 5512. Prove that

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}}\geq 1+\frac1{kn}\)

is true for every positive integer \(\displaystyle k\) and \(\displaystyle n\).

Proposed by Gábor Holló, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A mértani és a számtani közép közti egyenlőtlenséget a \(\displaystyle k, \underbrace{1,1,\ldots,1}_{n-1~\text{db}}\) számokra alkalmazva:

\(\displaystyle \sqrt[n]{k} \leq \sqrt[n]{k \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1} = \frac{k + 1 + 1 + \ldots + 1}{n} = \frac{k+n-1}{n}. \)

Hasonlóan \(\displaystyle \sqrt[k]{n} \leq \frac{n+k-1}{k}\), és így

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{k}}+\frac{1}{\sqrt[k]{n}} \geq \frac{k}{k+n-1} + \frac{n}{k+n-1} = 1 + \frac1{k+n-1} \geq 1 + \frac1{kn}. \)

Az utolsó egyenlőtlenségnél azt használtuk fel, hogy \(\displaystyle kn \geq k+n-1\), hiszen \(\displaystyle kn-k-n+1 = (k-1)(n-1) \geq 0\) teljesül tetszőleges \(\displaystyle k,n\) pozitív egészekre.

Statistics:

59 students sent a solution.
4 points:	Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Bővíz Dániel, Budai Máté, Deák Boldizsár Tamás, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Gaál Gergely, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hegyi Fruzsina , Hideg János, Holló Martin, József Áron, Kerekes András, Kurucz Lilien Jázmin, Li Mingdao, Maróti Olga, Máté Kristóf, Mihály Attila, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Miszori Márton, Nagy Ádám Kornél , Nagypál Katóca, Papirnyy Oleksandr, Papp Mátyás, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Sha Jingyuan, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin, Taczman Vince, Takács András, Tóth Luca, Tulkán Dávid, Varga 511 Vivien, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell	(50 students).
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 points:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026