Problem B. 5534. (May 2026)

B. 5534. Solve the equation \(\displaystyle \lbrace x \rbrace + \left\lbrace \dfrac{1}{x}\right\rbrace=1\) on the set of real numbers, where \(\displaystyle \lbrace x \rbrace\) denotes the fractional part of \(\displaystyle x\).

Proposed by Gábor Holló, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya az \(\displaystyle x \neq 0\) valós számok halmaza.

Az egész rész és a tört rész definíciója alapján \(\displaystyle x= \lbrace x \rbrace + [x]\), így az egyenletünk átírható

\(\displaystyle \lbrace x \rbrace + \left\lbrace \dfrac{1}{x} \right\rbrace =x-[x]+\dfrac{1}{x}- \left[ \dfrac{1}{x}\right]=1 \Longleftrightarrow x+\dfrac{1}{x} = [x]+ \left[ \dfrac{1}{x}\right] +1\)

az eredeti egyenlettel ekvivalens alakba. Mivel ez utóbbi egyenlet jobb oldala egész szám, így a bal oldal is az. Továbbá ismert, hogy \(\displaystyle \left| x+\dfrac{1}{x} \right| \geq 2 \), így az \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}\) összeg olyan egész szám, amelynek abszolút értéke legalább 2. Jelölje ezt az egész összeget \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=n\). Továbbá \(\displaystyle n=2\), illetve \(\displaystyle n=-2\) esetén \(\displaystyle x=1\)-t, illetve \(\displaystyle x=-1\)-t kapnánk az \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=n\) egyenlet megoldásaként, \(\displaystyle x=\pm1\) esetén viszont az eredeti egyenlet jobb oldala \(\displaystyle 0\) lenne, azaz \(\displaystyle x=\pm 1\) az eredeti egyenletnek nem megoldása. Feltehető tehát, hogy \(\displaystyle n\) olyan egész szám, hogy \(\displaystyle |n| > 2\).

Megoldva az \(\displaystyle x+\dfrac{1}{x}=n\) egyenletet (az \(\displaystyle n\) egészet az egyenlet paramétereként tekintve) megoldásul \(\displaystyle x_{1;2}=\dfrac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}\)-t kapunk. Megmutatjuk, hogy a kapott \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) számok az eredeti egyenletnek is megoldásai. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján \(\displaystyle x_1 \cdot x_2 =1\), azaz a két gyök egymás reciproka, emiatt elég az egyik gyökre megmutatni, hogy vele az eredeti egyenlettel ekvivalens \(\displaystyle n = [x]+ \left[ \dfrac{1}{x}\right] +1\) teljesül. Ezt \(\displaystyle n\) előjele alapján két esetre bontva mutatjuk meg.

1. eset: \(\displaystyle n >2\) (pozitív egész) esetén vizsgáljuk az \(\displaystyle x_1=\dfrac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\) gyököt.

Ekkor \(\displaystyle 0<n-2<n+2 \Rightarrow 0<(n-2)^2<(n-2)(n+2) \Rightarrow 0<n-2<\sqrt{n^2-4}<n\), és innen

\(\displaystyle n-1=\dfrac{n+(n-2)}{2}<x_1=\dfrac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}<\dfrac{n+n}{2}=n,\)

azaz \(\displaystyle x_1\) a szomszédos \(\displaystyle (n-1)\) és \(\displaystyle n\) egészek közé esik, vagyis \(\displaystyle |x_1|=n-1>1\), és emiatt (mivel \(\displaystyle \frac{1}{x_1}\) ekkor \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) közé esik) \(\displaystyle \left| \dfrac{1}{x_1} \right| =0\), azaz \(\displaystyle x_1+\dfrac{1}{x_1}=n=(n-1)+0+1=[x_1]+ \left[ \dfrac{1}{x_1}\right] +1\), azaz \(\displaystyle x_1\) (és így persze reciproka \(\displaystyle x_2\) is) valóban kielégíti az eredeti egyenletet is.

2. eset: \(\displaystyle n < -2\) (negatív egész) esetén pedig az \(\displaystyle x_2=\dfrac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\) gyököt vizsgáljuk.

Ekkor \(\displaystyle 0>n+2>n-2 \Rightarrow 0<(n+2)^2<(n-2)(n+2)<n^2\Rightarrow 0 <|n+2|<\sqrt{n^2-4}<|n| \Rightarrow 0<-n-2<\sqrt{n^2-4}<-n\), és innen

\(\displaystyle n=\dfrac{n-(-n)}{2}<x_2=\dfrac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}<\dfrac{n-(-n-2)}{2}=n+1,\)

azaz \(\displaystyle x_2\) a szomszédos \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\) egészek közé esik, vagyis \(\displaystyle |x_2|=n<-2\), és emiatt (mivel \(\displaystyle \frac{1}{x_2}\) ekkor \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle -1\) közé esik) \(\displaystyle \left| \dfrac{1}{x_2} \right| =-1\), azaz \(\displaystyle x_2+\dfrac{1}{x_2}=n=n+(-1)+1=[x_2]+ \left[ \dfrac{1}{x_2}\right] +1\), azaz \(\displaystyle x_2\) (és így persze reciproka \(\displaystyle x_1\) is) valóban kielégíti az eredeti egyenletet is.

Válasz: Összefoglalva tehát azt kaptuk, hogy az eredeti egyenlet megoldásai az \(\displaystyle x_1=\dfrac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\), és az \(\displaystyle x_2=\dfrac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\) alakú számok, ahol \(\displaystyle n\) tetszőleges \(\displaystyle 2\)-nél nagyobb abszolútértékű egész.

Statistics:

56 students sent a solution.
3 points:	Albert Luca Liliána, Álmos Duics, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Barabás Ákos, Baranyi Ernő, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Budai Máté, Csizmadia Ronald, Fajszi Horka, Farkas Noémi , Fülöp Levente, Gaál Gergely, Gál Mózes, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Hideg János, Illés Dóra, Li Mingdao, Lovas Márk, Mikó Hédi Irma, Miszori Gergő, Miszori Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy Ádám Kornél , Nagypál Katóca, Papp Mátyás, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sasvári Zoltán, Sógor-Jász Soma, Szabó Erik, Szabó-Caceres Alan Martin, Takács András, Tóth László Pál, Varga 511 Vivien, Varsányi Benedek, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma	(45 students).
2 points:	8 students.
1 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026