Problem B. 5535. (May 2026)
B. 5535. \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) are the sides and \(\displaystyle r\) is the inradius of a scalene triangle. Let \(\displaystyle s_a\) be the length of the median corresponding to side \(\displaystyle a\), and let \(\displaystyle t_a\) denote the distance of the incenter from the line of median \(\displaystyle s_a\). Prove that
\(\displaystyle 2t_as_a=|b-c|\cdot r.\)
Proposed by Géza Kiss, Csömör
(3 pont)
Deadline expired on June 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelölje a háromszög csúcsait a szokásos rend szerint \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), a beírt kör középpontját \(\displaystyle I\), a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontját \(\displaystyle F\).
Az \(\displaystyle AIF\) háromszög területét fogjuk kétféleképpen kiszámítani.
Egyrészt, ha az \(\displaystyle AF = s_a\) oldalát tekintjük alapjának, az ehhez tartozó magasság éppen \(\displaystyle t_a\), tehát
\(\displaystyle T(AIF) = \frac{t_as_a}2. \)
Másrészt az \(\displaystyle AIF\) háromszög területének 2-szerese éppen megadja az \(\displaystyle ABFI\) és az \(\displaystyle AIFC\) négyszögek területének különbségét. Hiszen az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle AFC\) háromszögek területe megegyezik (mivel \(\displaystyle AF\) súlyvonal), és az \(\displaystyle ABF\) és \(\displaystyle AFC\) háromszögekről a \(\displaystyle ABFI\) és az \(\displaystyle AIFC\) négyszögekre áttérésnél, az egyik területrészhez hozzáadódik, a másikból levonódik az \(\displaystyle AIF\) háromszög (hogy melyikhez adódik hozzá és melyikből vonódik le, az attól függ, hogy \(\displaystyle I\) az \(\displaystyle s_a\) melyik oldalára esik). Így
$$\begin{eqnarray*} 2 T(AIF) &=& \left\vert T(ABFI) - T(AIFC) \right\vert = \left\vert T(ABI) + T(BFI) - T(AIC) - T(IFC) \right\vert = \\ &=& \left\vert T(ABI) - T(AIC) \right\vert = \left\vert \frac{cr}2 - \frac{br}2 \right\vert = \frac{|b-c|\cdot r}{2}. \end{eqnarray*}$$(Kihasználtuk, hogy \(\displaystyle IF\) súlyvonal az \(\displaystyle IBC\) háromszögben, tehát \(\displaystyle T(BFI) = T(IFC)\).)
Ezzel megkaptuk a bizonyítandó állítást:
\(\displaystyle 2t_as_a = 4 T(AIF)= |b-c|\cdot r.\)
Statistics:
48 students sent a solution. 3 points: Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Benedek Olivér , Blaskovics Ádám, Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Budai Máté, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Fajszi Horka, Gál Mózes, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Illés Dóra, József Áron, Kókai Ákos, Li Mingdao, Lovas Márk, Miszori Márton, Molnár Lili, Nagy Roxána, Papp Mátyás, Péter Hanna, Rotter Szabolcs, Röst Vilmos, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Schmidt Botond, Szabó-Caceres Alan Martin, Tóth László Pál, Tóth Luca, Varga 511 Vivien, Varsányi Benedek, Weng Chenxin, Wiener Marcell (37 students). 2 points: Albert Luca Liliána, Beinschroth Máté, Molnár-Sáska Tamás, Nagypál Katóca, Pataki Gergő, Sógor-Jász Soma, Várhegyi Hanna, Winkler-Antal Dalma (8 students). 1 point: 1 student. 0 points: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026