Problem B. 5537. (May 2026)

B. 5537. In circle \(\displaystyle k\) chord \(\displaystyle CD\) bisects chord \(\displaystyle AB\). The tangents of \(\displaystyle k\) at \(\displaystyle C\) and \(\displaystyle D\), respectively intersect line \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle X\) and \(\displaystyle Y\), respectively. Prove that \(\displaystyle XA=YB\).

Crux Mathematicorum

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB\) húr felezőpontja \(\displaystyle F\), az egyes szereplő szakaszok hossza \(\displaystyle AF=FB=u\), \(\displaystyle CF=c\), \(\displaystyle FD=d\), \(\displaystyle XF=x\), \(\displaystyle FY=y\), továbbá \(\displaystyle CFX\sphericalangle=YFD\sphericalangle=\varphi\).

Azt fogjuk igazolni, hogy \(\displaystyle XF=x=y=FY\), ebből már következik, hogy \(\displaystyle AX=x-u=y-u=YB\).

Írjuk fel az \(\displaystyle X, Y\) és \(\displaystyle F\) pontok körre vonatkozó hatványát:

\(\displaystyle XC^2=XA\cdot XB=(x-u)(x+u)=x^2-u^2, \tag{1}\)

\(\displaystyle YD^2=YB\cdot YA=(y-u)(y+u)=y^2-u^2, \tag{2}\)

\(\displaystyle CF\cdot FD=AF\cdot FB, \quad \text{azaz}\quad c\cdot d=u^2. \tag{3}\)

Számoljuk az \(\displaystyle XC\) érintőszakasz négyzetét az \(\displaystyle XFC\) háromszögből koszinusztétellel is és használjuk az (1) összefüggést:

\(\displaystyle XC^2=x^2-u^2=x^2+c^2-2xc\cos\varphi.\)

Ebből már kifejezhető az \(\displaystyle XF\) szakasz hossza \(\displaystyle u, c, \cos\varphi\) segítségével:

\(\displaystyle 2xc\cos\varphi=c^2+u^2, \)

\(\displaystyle x=\frac{c^2+u^2}{2c\cos\varphi}.\)

Sőt azt is tudjuk (3)-ból, hogy \(\displaystyle u^2=cd\) és ezzel

\(\displaystyle x=\frac{c^2+u^2}{2c\cos \varphi}=\frac{c^2+cd}{2c\cos \varphi}=\frac{c+d}{2\cos\varphi}.\)

Ugyanezzel az eljárással:

\(\displaystyle YD^2=y^2-u^2=y^2+d^2-2yd\cos\varphi,\)

\(\displaystyle y=\frac{d^2+u^2}{2d\cos\varphi}=\frac{d^2+cd}{2d\cos\varphi}=\frac{c+d}{2\cos\varphi}.\)

Megmutattuk tehát, hogy \(\displaystyle XF=x=y=FY\), vagyis \(\displaystyle AX=YB\) is teljesül.

Statistics:

45 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Bao Nguyen Gia, Baranyi Ernő, Benedek Olivér , Bodor Ádám, Budai Máté, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Gödry Miklós Gábor, József Áron, Li Mingdao, Lovas Márk, Mi Feiyu, Miszori Márton, Molnár-Sáska Tamás, Papp Mátyás, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sasvári Zoltán, Tóth László Pál, Tóth Luca, Varga 511 Vivien, Várhegyi Hanna, Varsányi Benedek, Vincze Marcell, Weng Chenxin, Wiener Marcell, Zhu Hongyu	(33 students).
3 points:	Fülöp Levente, Nagy Roxána, Nagypál Katóca, Sógor-Jász Soma, Szabó-Caceres Alan Martin	(5 students).
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 points:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026