Problem B. 5538. (May 2026)
B. 5538. Solve the following equation on the set of real numbers: \(\displaystyle \frac{1}{x^2-5x+9}+\frac{1}{y^2-5y+9}+\frac{1}{z^2-5z+9}=\frac{1}{\sqrt{6x-9}}+\frac{1}{\sqrt{6y-9}}+\frac{1}{\sqrt{6z-9}}\).
Proposed by Mihály Bence, Brassó
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Egy megoldása van az egyenletnek: \(\displaystyle x=y=z=3\).
Azt fogjuk belátni, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{x^2-5x+9} \leq \frac{1}{\sqrt{6x-9}}\)
minden, az értelmezési tartományon belüli számra (azaz \(\displaystyle x > \frac{2}{3}\) valós számra), és egyenlőség pontosan \(\displaystyle x=3\) esetén áll fent.
Ha belátjuk ezt az állítást, akkor készen leszünk, hiszen ha \(\displaystyle (x,y,z) \neq (3,3,3)\), akkor az eredeti egyenletünk jobb oldala szigorúan nagyobb lenne, mint a bal.
Most térjünk rá a bizonyításra. Minden \(\displaystyle x\) értelmezési tartományban lévő számra \(\displaystyle \sqrt{6x-9} > 0\) és
\(\displaystyle x^2-5x+9 = \left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0,\)
tehát ha felszorzunk a nevezőkkel és négyzetre emelünk, akkor ekvivalens átalakításokat végzünk:
\(\displaystyle (x^2-5x+9)^2 \geq 6x-9.\)
Kibontva és egy oldalra rendezve:
\(\displaystyle x^4-10x^3+43x^2-96x+90 \geq 0.\)
Megsejthetjük, hogy \(\displaystyle (x-3)^2\) kiemelhető, mivel \(\displaystyle x=3\) esetén egyenlőség van, és azt akarjuk belátni, hogy a polinom mindig nemnegatív.
\(\displaystyle x^4-10x^3+43x^2-96x+90 = (x-3)^2(x^2-4x+10)=(x-3)^2((x-2)^2+6) \geq 0.\)
Azaz beláttuk, hogy igaz az eredeti egyenlőtlenség (mivel csupa ekvivalens átalakítást végeztünk), és egyenlőség csak \(\displaystyle x=3\) esetén áll fent.
Statistics:
55 students sent a solution. 5 points: Albert Luca Liliána, Ali Richárd, Balla Ignác , Bao Nguyen Gia, Barabás Ákos, Beinschroth Máté, Benedek Olivér , Bodó Rókus Dániel, Bodor Ádám, Budai Máté, Csizmadia Ronald, Danka Emma, Ercse Ferenc, Fajszi Horka, Hajba Milán, Hajszter Dóra, Halmosi Dávid, Hideg János, Li Mingdao, Lovas Márk, Máté Kristóf, Miszori Gergő, Miszori Márton, Nagy Ádám Kornél , Nagy Roxána, Papp Mátyás, Pataki Gergő, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Rotter Szabolcs, Sajter Klaus, Schmidt Botond, Sógor-Jász Soma, Stépán Gábor, Szabó-Caceres Alan Martin, Tóth László Pál, Várhegyi Hanna, Vincze Marcell, Wiener Marcell, Winkler-Antal Dalma (41 students). 4 points: 10 students. 3 points: 4 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026