Problem C. 1002. (October 2009)

C. 1002. Find those right-angled triangles of integer sides for which the measures of the perimeter and area are equal.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a\le b <c\) a háromszög oldalainak hossza. A feltételek szerint \(\displaystyle a+b+c=ab/2\), továbbá \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Pl. \(\displaystyle (a+b)^2\)-t felírva a feltételből kapjuk az

\(\displaystyle ab=8+4c\)

összefüggést. A háromszög-egyenlőtlenségből \(\displaystyle a+b>c\), így \(\displaystyle ab<8+4a+4b\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{a<\frac{8+4b}{b-4}=4+\frac{24}{b-4}}\). Pl. grafikus megfontolás alapján, tekintve, hogy \(\displaystyle a\le b\), \(\displaystyle a<\sqrt{24}+4\), azaz \(\displaystyle a\le 8\). A pitagoraszi számhármasokat (illetve többszöröseit) felhasználva ennek a feltételnek csak a \(\displaystyle 3, 4, 5\), a \(\displaystyle 6, 8, 10\), az \(\displaystyle 5, 12, 13\) és a \(\displaystyle 7, 24, 25\) felelnek meg. A kerületre és a területre vonatkozó feltételeknek csak a második és a harmadik hármas felel meg.

Statistics:

350 students sent a solution.
5 points:	91 students.
4 points:	80 students.
3 points:	18 students.
2 points:	8 students.
1 point:	101 students.
0 point:	40 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009