Problem C. 1008. (November 2009)

C. 1008. The digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 are written in a random order. What is the probability that a seven-digit number divisible by four is obtained? (The number is not allowed to start with zero.)

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hét számjegyet véletlenszerűen sorba állítva összesen \(\displaystyle 7!\) darab számot kapunk, (nem mind hétjegyűek. A hét számjegyből összesen \(\displaystyle 6\cdot6!\) darab hétjegyű szám készíthető). Azok a számok, melyek \(\displaystyle 4\)-gyel oszthatóak - az oszthatósági szabály szerint - meghatározzák az utolsó két számjegyüket, melyek a következők lehetnek: \(\displaystyle 04\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 20\), \(\displaystyle 24\), \(\displaystyle 32\), \(\displaystyle 36\), \(\displaystyle 40\), \(\displaystyle 52\), \(\displaystyle 56\), \(\displaystyle 60\), \(\displaystyle 64\). Ezeket két csoportba osztjuk: ha az utolsó két számjegy valamelyike \(\displaystyle 0\), akkor ilyen végű hétjegyű szám \(\displaystyle 5!\) db van. Ha nincs az utolsó két számjegy között \(\displaystyle 0\), akkor az adott végződésű hétjegyű számok száma \(\displaystyle 4\cdot 4!\). Ezek szerint az adott számjegyekből \(\displaystyle 4\cdot 5! + 8\cdot 4\cdot 4!=52\cdot 4!\) darab \(\displaystyle 4\)-gyel osztható szám készülhet. Így a valószínűség \(\displaystyle \frac{52\cdot 4!}{7!}=\mathbf{\frac{26}{105}}\).

Statistics:

414 students sent a solution.
5 points:	103 students.
4 points:	205 students.
3 points:	57 students.
2 points:	8 students.
1 point:	25 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009