Problem C. 1011. (December 2009)
C. 1011. Prove that the value of the expression a3-3ab2+2b3 is non-negative if a and b are non-negative real numbers.
(5 pont)
Deadline expired on January 11, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a^3 - 3ab^2 + 2b^3 = a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b) = (a - b)\left(a(a+b)-2b^2\right)\). Ha \(\displaystyle a\ge b\), akkor egyrészt \(\displaystyle a-b\ge 0\), másrészt mivel
\(\displaystyle b\ge 0 \quad : \quad a^2\ge b^2; \ \ ab\ge b^2\)
alapján \(\displaystyle a(a+b)\ge 2b^2\), azaz a második tényező is nemnegatív: szorzatuk nemnegatív. Ha \(\displaystyle a<b\), akkor \(\displaystyle a-b<0\) és \(\displaystyle a\ge 0\) miatt \(\displaystyle a^2<b^2\) ill. \(\displaystyle ab<b^2\), azaz \(\displaystyle a(a+b)< 2b^2\). Mivel a szorzat mindkét tényezője negatív, szorzatuk pozitív. Tehát az eredeti összeg minden nemnegatív \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\)-re nemnegatív.
Statistics:
271 students sent a solution. 5 points: 131 students. 4 points: 88 students. 3 points: 16 students. 2 points: 11 students. 1 point: 11 students. 0 point: 12 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009