Problem C. 1027. (March 2010)

C. 1027. Solve the equation (ax²+bx+14)²+(bx²+ax+8)²=0 on the set of integers. a and b are integers.

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle ax^2+bx+14=bx^2+ax+8=0\). A különbségüket véve \(\displaystyle (a-b)x^2+(b-a)x+6=0\). Legyen \(\displaystyle a-b=c\) egész. A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján \(\displaystyle x=\frac{c\pm\sqrt{c^2-24c}}{2c}=\frac{1\pm\sqrt{1-\frac{24}{c}}}{2}\). A diszkrimináns \(\displaystyle D=c^2-24c\) szerint van megoldás, ha \(\displaystyle c\le 0\) vagy \(\displaystyle c\ge 24\) (\(\displaystyle x\) egész, ezért \(\displaystyle D\ne 0\)). Az egész megoldásokat keressük, ezért meggondolva, hogy ha \(\displaystyle D^*=1-\frac{24}{c}\) nem egész, akkor a gyöke sem egész, ezért szükséges, hogy \(\displaystyle 1-\frac{24}{c}\) egész szám legyen, azaz \(\displaystyle c\mid 24\). A \(\displaystyle D\) vizsgálata szerint \(\displaystyle c\) 24 negatív osztói lehetnek. A lehetséges értékeket sorban megnézve csak a \(\displaystyle c=-1\) és \(\displaystyle c=-3\) esetben lesz \(\displaystyle D^*\) négyzetszám.

Az egyenletnek egész megoldása pontosan akkor van, ha \(\displaystyle a-b=-1\), ekkor \(\displaystyle x_1^{(-1)}=3\), \(\displaystyle x_2^{(-1)}=-2\), továbbá, ha \(\displaystyle a-b=-3\), ezen paramétersorozathoz tartozó megoldások az \(\displaystyle x_1^{(-3)}=2\) és \(\displaystyle x_2^{(-3)}=-1\). Más esetben az egyenletnek nem lehet egész megoldása.

Most vegyük a két egyenlet összegét: \(\displaystyle (a+b)x^2 + (a+b)x+22=0\). Az \(\displaystyle a+b=d\) jelöléssel a fenti eljárást követve csak akkor kaphatunk egész megoldást, ha \(\displaystyle D^{**}=1-\frac{88}{d}\) egész, azaz szükséges, hogy \(\displaystyle d\mid 88\). A megoldás létezése miatt a diszkrimináns nemnegatív, ezért \(\displaystyle d<0\) vagy \(\displaystyle d=88\). A lehetőségeket ismét számba véve csak a \(\displaystyle d=-11\) esetben lesz \(\displaystyle D^{**}\) egész. Ekkor \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-2\), és az eredeti egyenlet-(rendszernek) nem lehet más egész megoldása. A megoldás első része szerint ugyanakkor az \(\displaystyle x\) nem lehet más, csak 3, 2, -1, -2. Így \(\displaystyle \mathbf{x=-2}\), továbbá az \(\displaystyle a-b=1\) és \(\displaystyle a+b=-11\) feltételekből \(\displaystyle \mathbf{a=-5}\), \(\displaystyle \mathbf{b=-6}\).

Statistics:

169 students sent a solution.
5 points:	60 students.
4 points:	27 students.
3 points:	22 students.
2 points:	12 students.
1 point:	41 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010